반응형
집합이 3개인 경우 합집합의 확률공식은 아래와 같습니다.
$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)$
고등학교 때는 벤다이어그램을 이용해서 유도했을겁니다. 이번에는 수식을 이용해서 유도해봅시다. 교집합기호는 생략하겠습니다.
A,B,C 의 합집합은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
$P(A \cup B \cup C)=P((A \cup B) \cup C)$
집합 2개인 경우의 합집합 확률공식을 적용합시다.
$P(A \cup B \cup C)=P(A \cup B)+P(C)-P((A \cup B) \cap C)$
우번의 첫째항에 한번더 적용합시다.
$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P((A \cup B) \cap C)$
마지막 항에는 분배법칙을 적용합시다.
$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P((A \cap C) \cup (B \cap C))$
마지막항에 합집합 확률공식을 적용합시다.
$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)+P(C)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$
아래와 같이 정리해줍니다.
$P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$
반응형
공유하기
게시글 관리
구독하기통계의 본질 (유튜브 : 통계의 본질)저작자표시 비영리 변경금지
'@ 통계학 석박사 진학관련 > 수리통계학 요약' 카테고리의 다른 글
[수리통계학] #14. 조건부확률, 곱셉공식 (0)2021.02.27[수리통계학] #13. 포함 배제의 원리 (Inclusion–exclusion principle) (0)2021.02.26[수리통계학] #12. 부울의 부등식 (Boole's inequality) (0)2021.02.26[수리통계학] #11. 단조증과 단조감소 집합의 확률 (0)2021.02.26[수리통계학] #9. 합집합의 확률 공식을 수식으로 증명(집합2개) (2)2021.02.26[수리통계학] #8. 확률분포의 수학적 정의 (확률의 공리) (0)2021.02.26[수리통계학] #7. 실험, 시행, 표본공간, 사건, 원소 (0)2021.02.26[수리통계학] #6. 순열과 조합 (0)2021.02.24논리 · 논증{귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문(조각적 정의) · 명제 논리(명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리(존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론
집합론
집합(원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계(동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍(튜플) · 서수(하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC(선택공리) · 기수(초한기수) · 절대적 무한
범주론
함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성
계산가능성 이론
계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수
정리
드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 불완전성 정리 · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리
그 외에 집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질도 알아볼 건데, 이건 각 집합에서 사용하는 개념을 잘 생각해보면 이해할 수 있을 거예요. 혹시 이해하기 어렵다면 마찬가지로 벤다이어그램을 그려서 확인해볼 수도 있어요.
집합의 연산은 식이 되게 복잡하고 길어 보이지만 연산 법칙과 성질만 잘 알면 풀 수 있어요. 겁먹지 마세요.
드모르간의 법칙
처음 듣는 이름인데요. 집합에서 계속 나오는 법칙이에요. 공식처럼 외워야 합니다.
(A ∪ B)C = AC ∩ BC
여집합 기호 C가 마치 지수법칙처럼 각 집합에 적용되어 AC, BC가 되었고, 괄호 안에 있던 연산이 반대로(∩ → ∪, ∪ → ∩) 바뀌었어요.
집합의 연산에서 매우 중요한 법칙이에요. 꼭 벤다이어그램으로 그려서 직접 확인해보세요.
차집합의 성질
차집합 A - B는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이에요. A - B = {x|x ∈ A이고 x
전체집합, 여집합, 차집합
이걸 연산에서 교집합과 여집합의 조합으로 바꿀 수 있어요. 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.
A - B = A ∩ BC
차집합에서 앞에 있는 집합은 그대로, 빼기(-) → ∩으로, 뒤에 있는 집합은 여집합(C)으로 바뀌었어요.
B - A는 뭘까요? B는 그대로, 빼기(-)는 ∩으로, A는 여집합(AC)으로 바꿔요. B - A = B ∩ AC
집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질
집합의 연산에서 법칙은 아니지만 자주 사용하는 성질들이 있어요. 개수가 많아서 어려울 것처럼 보이지만 의미를 잘 생각해보면 이해가 될 거예요. 아니면 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요. 굳이 외울 필요는 없지만 연산 과정에서 보면 이해할 수 있어야 해요.