미적분Ⅰ
[미적분1]Ⅵ 도함수의 활용 (1)접선의 방정식
Ⅵ 도함수의 활용
(1)접선의 방정식
: 접선은 말 그대로 접하는 직선을 의미합니다. 예를 들어, 어떤 함수에서 특정한 x값에 대하여 접하는 접선의 방정식을 구하라는 식의 문제가 있을 수 있겠죠.
직선이라는 소리는 당연히 기울기와 지나는 한 점만 알아야 방정식을 구할 수 있습니다.
기울기는 앞에서 배운 순간변화율이나 도함수를 이용하면 쉽게 구할 수 있고요. 지나는 점은 접점의 좌표로 주어지거나, 접점이 아닌 다른 한 점으로 주어질 수 있겠죠.
1. 접점의 좌표가 주어졌을 때, 접선의 방정식
함수 y=f(x)의 한 점 ( t , f(t) )을 지나는 접선의 방정식은
i) 접점의 좌표 : ( t , f(t) )라고 주어진 상황
ii) 기울기 : 함수 f(x)를 미분한 f'(x)를 구해서 접점의 좌표를 대입하여, 해당 접점에서의 기울기를 구한다.
iii) 지나는 점 : 접점의 좌표(t , f(t))가 지나는 점의 좌표가 된다.
iv) 방정식 : y = f'(t)(x-t) + f(t)
2. 기울기를 알 때의, 접선의 방정식
함수 y=f(x)에서 기울기가 m인 직선의 방정식은
i) 접점의 좌표 : 주어지지 않았으므로 임시방편으로 ( t , f(t) )라고 놓는다.
ii) 기울기 : 함수 f(x)를 미분한 f'(x)에서 접점의 좌표를 대입하여 만든 f'(t)=m이라고 놓고 t값을 구한다.
t의 실근이 여러개인 경우는 해당 기울기를 가지는 직선이 한 개가 아닌 것을 의미한다.
iii) 지나는 점 : 접점의 좌표를 구하여 방정식을 만든다.
3. 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우의 접선의 방정식
함수 y=f(x)의 밖의 점 (a , b)가 주어진 경우 직선의 방정식은
i) 접점의 좌표 : 역시 임시로 ( t , f(t) )라고 잡는다.
ii) 기울기 : 함수 f(x)를 미분한 f'(x)에서 접점의 좌표를 대입한 f'(t)를 기울기라고 놓고 방정식을 만든다.
iii) 지나는 점 : 지나는 점( a , b )를 만들어진 방정식에 대입하여 t값을 구한다.
(t의 실근이 여러개인 것은 접선이 여러개가 생긴다는 의미이다.)
예제)
1) 곡선 y=x²위의 점 (1,1)에서의 접선의 방정식을 구하여라
[풀이]
접점의 좌표가 (1 , 1)로 주어졌다.
기울기는 도함수를 구하면 y'=2x이다. (1 , 1)를 대입하면 x=1이므로 기울기(y')=2이다.
즉, 지나는 점 (1,1)이고 기울기는 2인 방정식이다.
따라서 방정식은 y=2x-1이다.
2) 곡선 y=x²에 접하고 기울기가 -4인 접선의 방정식을 구하여라.
[풀이]
일단 접점의 좌표를 ( t , t² )이라고 놓자.
기울기는 도함수를 구하면 y'=2x이므로 접점의 좌표를 대입하면 기울기(y')= 2t이다. 기울기가 -4라고 주어졌으므로 2t=-4이므로 t=-2이다.
따라서 접점의 좌표는 ( -2 , 4 )이고 기울기는 -4인 방정식이므로
직선의 방정식은 y=-4x-4이다.
3) 점(0 , -4)에서 곡선 y=x²에 그은 접선의 방정식을 모두 구하여라.
[풀이1]
접점의 좌표를 ( t , t² )이라고 놓자.
기울기를 구하면 y'=2x이므로 접점의 좌표를 대입하면 2t임을 알 수 있다.
방정식을 세우면 y=2t(x-t)+t²이다. 이 직선이 ( 0 , -4 )를 지난다. 대입하자.
-4=-2t²+t²
정리하면 t²=4이므로 t=2 또는 t=-2이다. 각각의 방정식을 구하면
직선의 방정식은 y=4x-4 또는 y=-4x-4이다.
※ 직선의 방정식 식 세우기
ⓐ 기울기가 m이고 (a , b)를 지나는 직선의 방정식의 공식
: y=m(x-a)+b
(또는 y=mx + ... 꼴로 유도한 다음 지나는 한 점을 식에 대입시키면 ...값을 구할 수 있습니다.)
ⓑ 두 점을 지나는 직선의 방정식
: Δy/Δx를 통해 기울기를 찾으면 위의 ⓐ와 같은 방법이 됩니다.
ⓒ x절편(a,0)과 y절편(b,0)을 알 때의 직선의 방정식
: x/a+y/b=1
미분으로 가장 먼저 할 수 있는 일은 바로 어떤 함수 그래프의 '접점에서의 접선의 방정식'을 구하는 일입니다. 왜냐하면 미분계수는 그 접점에서의 순간기울기를 의미하고, 접선이라는 직선의 방정식은 기울기와 지나는 한 점의 좌표만 알면 구할 수 있기 때문입니다.
이 파트에서 만약 자신감이 떨어짐을 느끼신다면 그것은 아마도 고1 때 직선의 방정식 기초가 약하기 때문은 아닐까요?
다시 갔다 돌아오는 데 얼마 시간 걸리지도 않습니다. 괜히 그런 작은 두려움 때문에 거사를 그르쳐야 되겠습니까? ^^
자 그럼..가시죠
1. 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f'(a)일 뿐이다. 지나는 접점의 좌표도 P(a, f(a))을 그대로 쓰면 된다.
별 것도 없습니다.
우선 그 접선의 기울기를 알아야 겠지요? 그건 바로 그 점에서의 미분계수구요..
그럼 가장 먼저 해야할 일은? 맞습니다. 도함수를 구하는 일입니다. 도함수 y'=2x네요..
x=2에서의 미분계수 y'(2)=2·2=4입니다. x=2에서의 접선의 기울기가 4라는 뜻입니다.
다 된겁니다. 접점의 좌표가 (2,4)이므로 이 좌표를 그대로 이용하면 되겠습니다.
y-4=4(x-2) y=4x-4가 접선의 방정식이네요..
약간 어려운 문제라면 곡선 위의 점이 아닌 곡선 밖의 점에서 이 곡선에 그은 접선의 방정식 문제일텐데요..이런 유형 역시 고1 때 많이 접해보았습니다. 기억 안나시나요?
일단 그래프를 그려보니 접선은 2개군요..그런데 접점을 모르겠네요?
모르는 것은 일단 문자로 처리하세요..모른다고 주저 않지 마시고..모르는 미지수를 구하는 게 수학입니다. 나중에 저절로 답이 풀려집니다. ^^
접점은
일단
참 도함수 구해야죠..기울기 구할려면...y'=2x, 점 a에서의 기울기는 그럼 2a네요(역시 문자로 처리하세요..이런 거에 괜스리 겁먹는 친구들 많습니다. 숫자 모르면 문자로 처리하고 일단 가세요)
그럼 접선의 방정식은 좀 미완의 상태지만 이렇게 구할 수 있습니다.
됬네요..이제 ..a가 어떤놈인지만 알아내면 됩니다.
a를 알려면 어떻게 하면 될까요? 힌트 어디 없나요?
있네요..저 접선들은 바로..(1,0)을 지나가네요..대입하세요 x에 1, y에 0
어? 아주 간단한 2차 방정식이 나오네요? a는 0 또는 2가 답이네요
자 그럼 다 된겁니다.
a=0일 때 접선의 방정식은 y=0
a=2일 때 접선의 방정식은 y=4x-4
문제 풀어 보세요
2. 미분과 접선의 방정식에서 꼭 알아야 대표 문제들!
가. 접선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
- 곡선 y=f(x) 위의 한 점을 (t, f(t))로 놓고 도함수를 이용하여 기울기를 구한다.
- 접선의 방정식을 구한다.
- 접선 밖의 한 점의 좌표를 대입하여 미지수 a를 구하고, 방정식을 완성한다.
나. 접선의 갯수
- 점 (a,b)에서 곡선 y=f(x)에 그을 수 있는 접선의 갯수는 미완성 접선의 방정식인
b-f(t) = f'(t)(a-t)의 실근의 갯수와 같다.
다. 접선과 곡선의 또다른 교점 문제
- 접선의 방정식을 일단 구한 다음 곡선의 방정식과 다시 연립하여 또 다른 교점을 구한다.
라. 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제
- f(x)가 삼차함수일 때 기울기를 나타내는 함수인 도함수 f'(x)는 2차함수가 된다. 그럼 그
이차함수 f'(x)의 최댓값 또는 최솟값이 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값이 된다.
마. 접선에 수직인 직선의 방정식 구하는 문제
- 곡선 f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서 접선의 기울기는 f'(a)이므로, 점 P를 지나면서 접선에
수직인 직선의 기울기는
바. 곡선과 원이 접할 때 접점을 지낙 접선에 수직인 직선은 원의 중심을 지나는 것을 응용한 문제
사. 공통접선 문제
- 두 곡선이 공통접선을 가지면 접점도 동일하고, 그 접점을 지나는 접선의 기울기도 동일하다.