중학교때인가 인수분해를 배웠을 때 수학이라는 과목에 무척 재미를 느꼈다.
누가 이런 걸 생각해 냈는지도 궁금했고, 여러 복잡한 식의 공통 인수를 구하여 분해를 하는 작업 또한 재미있었다. 물론, 복잡한 다항식이 나오고 복이차식, 치환..등 식이 점점 복잡난해해지자 처음의 그 재미를 느끼기란 쉽지 않았지만
그래도 그 어떤 단원보다 인수분해 단원은 흥미있게 접근했었다는 기억이다.
이 책은 오차방정식의 해법을 발견한 수학자 아벨의 일곱 번에 걸친 수업 내용이다.
인수분해와 공통인수, 합과 곱을 이용한 인수분해, 복잡한 다항식의 인수분해, 세 항 이상의 완전제곱식과 고차식의 인수분해, 실생활에서 인수분해의 활용 등을 그 내용으로 하고 있다.
교과 과정 연계 또한 확실히 정리해 두어 관련 단원의 이해를 위해 미리 읽어 두면 좋을 것이다.
각 수업이 시작되기 전에 학습목표를 두고 있어 그 단원의 내용을 공부하기 전에 알아두어야 할 용어와 규칙 등 미리 알아두면 좋은 수학적 지식을 풀어 놓고 있다.
무엇보다 글로만 전달하는 데 그치지 않고 만화나 삽화를 이용하여 이해하기 어려운 내용을 쉽게 다시 한번 정리해 주어 아이들이 친근하게 이론에 다가갈 수 있도록 해 놓은 점이 좋았다.
어렴풋이 생각나는 다항식의 인수분해를 다시한번 접하니 내가 그때 수업을 잘 듣긴 들었나보다. 모두 풀고 있지 않은가..음하하..아니 그만큼 설명이 잘 되어 있다는 걸까?
이십여 년을 훌쩍 넘은 시간들을 뒤로 하고 난 그시절 중딩이 되어 하나하나 인수분해를 술술 풀고 있지 않은가. 아벨의 인수분해 수업 역시 당시의 수학 수업만큼이나 흥미로움을 더해 주었다.
레슬링 경기에서 패시비티존이라는 말을 들어보았을 것이다.
이 영역이 인수분해 공식을 이용하여 해결한 것이라고 한다. 또한 건축 설계를 할 때에도 인수분해 공식을 활용할 수 있다고 하니, 수학자 아벨 덕분에 더욱 편리한 계산 방법을 쓰고 있다는 생각에 새삼 고마움을 느낄 수 있었다.
어찌 생각하면 무조건 나누기만 하는 딱딱한 인수분해라는 단원을
찬찬한 설명으로 예를 들어 보이며 읽은 아벨의 수업은 정말 흥미로웠다.
다시한번 학창시절로 돌아간 느낌으로 문제를 풀며 읽을 수 있어서 더더욱~
아무쪼록 아이도 이 책을 통해 인수분해의 원리를 재미있게 깨달을 수 있게 되기를 바라본다.
[수학동아 2016년 2월호]
화려한 색채로 묘한 매력을 뽐내는 작품이 사실은 다항식의 근을 그래프로 나타낸 결과라면 믿기십니까? 마치 거장의 추상 미술 같은 이 작품은 바흐만 카탄타리 미국 뉴저지주립대 교수가 개발한 그래프 그리는 방법으로 탄생한 다항식 그래프입니다. 대체 어떻게 다항식이 예술 작품으로 변했는지 그 속내를 파헤쳐 봅시다.
종이에 물감을 마음대로 쭉쭉 짠 다음 종이를 반으로 접었다 편 데칼코마니 작품을 연상시킵니다. - 바흐만 카탄타리(미국 뉴저지주립대 컴퓨터과학과 교수) 제공
● 뉴턴의 방법이 만든 예술 작품
10z48-11z24+1이라는 다항식의 근은 어떻게 구할까요? 이차방정식도 머리가 아픈데 근의 공식도 쓸 수 없는 무려 48차식이라니! 5차식 이상의 방정식은 특별한 경우를 제외하고는 대부분 정확한 근을 구하기가 어렵습니다. 그래서 수학자들은 다항식 근의 근삿값을 구하는 방법을 고안했지요. 미적분학을 고안한 아이작 뉴턴도 그 중 한 사람입니다. 그가 고안한 방법을 ‘뉴턴의 방법’이라고 부릅니다.
무려 36차식으로 만든 작품으로, 오리엔탈 문화의 진수로 평가받는 페르시안 카펫에서 영감을 받아 디자인했습니다. - 바흐만 카탄타리(미국 뉴저지주립대 컴퓨터과학과 교수) 제공
바흐만 카탄타리 미국 뉴저지주립대 교수는 뉴턴의 방법을 써서 다항식의 근을 그래프로 나타내면 멋진 작품이 탄생한다는 걸 알아냈습니다. 이런 작품을 ‘폴리노미오그래프’라고 부르고, 이를 만드는 작업을 ‘폴리노미오그래피’라고 이름 붙였습니다. 다항식을 뜻하는 ‘Polynomial’과 그래프를 의미하는
‘Graph’를 합쳐 만든 이름입니다.
뉴턴의 방법은 다항식 근의 근삿값을 구하는 가장 일반적인 방법입니다. 구하고자 하는 다항식의 근을 초깃값 z0라고 가정하고, zn+1 = zn- f(zn)/f'(zn)이라는 식을 이용해 근에 가까운 점들 z1, z2, z3, z4, …를 차례로 찾아 어떤 수에 가까이 가는지 알아내는 것이지요.
화려한 무늬와 색상으로 멋쟁이 티를 내는 나비의 실체도 다항식이랍니다. - 바흐만 카탄타리(미국 뉴저지주립대 컴퓨터과학과 교수) 제공
그런데 초깃값을 잘못 잡으면 엉뚱한 값이 나옵니다. 따라서 정확한 근삿값을 구하기 위해서는 초깃값을 다양하게 잡아 계산한 뒤 그 중 같은 값으로 수렴하는 값을 다항식 근의 근삿값으로 정해야 하지요. 카탄타리 교수는 이렇게 같은 값으로 수렴하는 초깃값들을 같은 색으로 칠하면 멋진 이미지가 만들어진다는 것을 발견했습니다. 그리고 이를 구현할 수 있는 소프트웨어를 만든 것이지요.
카탄타리 교수가 개발한 프로그램은 조작법이 간단할 뿐만 아니라 뉴턴의 방법을 몰라도 쉽게 그래프를 그릴 수가 있습니다. 물론 다항식의 성질을 알면 훨씬 더 멋진 작품을 만들 수가 있지요.
마치 물구나무를 선 사람을 가뿐히 들어올린 것도 모자라 원형으로 대형을 이룬 곡예사들을 표현한 작품 같습니다. - 바흐만 카탄타리(미국 뉴저지주립대 컴퓨터과학과 교수) 제공
● 바흐만 카탄타리 인터뷰
“다항식의 재미, 폴리노미오그래피로 찾으세요!”
안녕하세요. 바흐만 카탄타리입니다. 저는 대학에서 수학을, 대학원에서 컴퓨터과학을 공부했습니다. 수학과 컴퓨터
프로그래밍을 모두 좋아하는 사람이지요.
중학교 때부터 배우는 다항방정식은 수학과 과학에서 매우 중요합니다. 많은 이론의 토대가 되고 많은 문제를 해결하는 열쇠가 되기 때문입니다. 그래서 오래 전부터 수학자와 과학자들은 방정식을 풀 방법에 대해 연구했습니다. 저도 뉴턴의 방법에 관심을 가지고 컴퓨터로 쉽게 다항식 근의 근삿값을 구할 수 있는 알고리즘 개발에 몰두했습니다. 그 과정에서 다항방정식을 시각화할 방법이 떠올랐고, 그 결과로 폴리노미오그래피를 개발할 수 있었습니다.
폴리노미오그래피를 고안한 바흐만 카탄타리 교수님. - 바흐만 카탄타리(미국 뉴저지주립대 컴퓨터과학과 교수) 제공
폴리노미오그래피의 매력은 딱딱한 다항식을 멋진 작품으로 표현해 많은 학생들에게 수학의 재미를 느끼게 해 줄 수 있다는 점입니다. 또 수준에 맞게 작품 활동을 할 수 있습니다. 중학생부터 대학원생까지 모두 폴리노미오그래피를 배울 수가 있지요. 이차방정식까지만 아는 중학생들은 이와 관련된 작품을 만들고, 복잡한 다항식을 풀 수 있는 박사 과정 학생들은 자신이 원하는 그림을 다항식을 이용해 나타냅니다.
저는 미국과 한국을 포함한 12개국에서 폴리노미오그래피 워크숍을 개최했습니다. 한국은 2014년과 2012년에 방문해 중고등학생과 대학생을 대상으로 강연했지요. 태극 문양의 작품을 만들어 보여 주자 학생들의 반응이 뜨거웠습니다.
학생들의 잠재력은 대단합니다. 단순히 수학의 재미만 느끼는 것이 아니라 새로운 것을 창조하거든요. 폴리노미오그래피에서
아이디어를 얻어 무용이나 애니메이션 작품을 만든 학생들이 실제로 있습니다.
앞으로 저는 수학이나 과학, 소프트웨어, 미술 교사들이 폴리노미오그래피를 이용해서 수업을 할 수 있도록 교육 내용과 소프트웨어를 무료로 제공할 계획입니다. 현재 교사들이 편리하게 프로그램을 이용할 수 있도록 프로그램을 수정하고 있습니다. 더 나아가 폴리노미오그래피를 이용한 게임도 만들어 소개할 예정입니다. 많은 사람들이 폴리노미오그래피를 통해 수학과 친해지면 좋겠습니다.
애플 앱스토어에서 ‘Poly-z-Vision’이라는 애플리케이션을 다운받으면 다양한 폴리노미오그래피 작품을 만나 볼 수 있습니다. 안드로이드 버전은 곧 출시할 예정입니다. - 바흐만 카탄타리(미국 뉴저지주립대 컴퓨터과학과 교수) 제공