기하학 과 상상력 독후감 - gihahag gwa sangsanglyeog doghugam

수학적 아이디어의 보고
수학을 직관으로 표현하는 방법을 다룬 진정한 걸작!

▶ 내용 소개

현대 기하 교수법의 기초를 닦은 『기하학과 상상력』
이 책은 힐베르트가 은퇴하기 전 대학에서 3년간 강의한 내용을 그의 제자인 슈테판 콘-포센이 정리하여 펴낸 것이다. 원제목은 『Anschauliche Geometrie』로 우리말로 직역한다면 ‘직관 기하학’정도일 것이나 영역판의 제목인 『Geometry and the Imagination』을 차용했다.

힐베르트가 직관주의에 반하여 형식주의를 주창한 수학자로 알려져 있지만 이 책에서 볼 수 있는 직관과 상상력을 중시하는 그의 태도를 보면 마냥 형식주의자로 단정 지을 수만은 없을 것 같다. 힐베르트는 이 책을 통해 눈으로 보고 직관적으로 이해할 수 있는 기하의 많은 분야들을 접하고 기하학을 공부하는 사람들이 좀 더 쉽게 기하학에 접근할 수 있기를 바랐다. 여러 사람의 노력으로 다양한 이미지가 추가되었으며 다소 복잡하거나 상상하기 힘든 입체도 투영도를 그려 제시함으로써 각종 공리와 기하학적인 가정을 머릿속으로 상상해야 하는 어려움을 덜어 주었다. 현대 기하학에서 도형이나 실제 물체를 투영하는 그림이 빠지지 않는 것은 이와 같은 힐베르트의 노력이 있었기 때문이다.

독일 수학계는 괴팅겐을 중심으로 힐베르트 시대에 정점을 찍고 나치즘이 팽배함과 동시에 몰락의 길을 걸었다. 『기하학과 상상력』의 서지정보에도 이 안타까운 역사의 흔적이 남아 있다. 힐베르트의 제자로 공저자로서 이 책의 집필에 참여한 슈테판 콘-포센의 경우다. 콘-포센은 유태인으로 당시 독일은 나치즘으로 인해 유태인에게 어떠한 권한도 남기지 않았으므로 출간할 당시에는 공저자로 이름을 올리지 못하였다가 영역판이 번역되면서 그의 사후에야 공저자로 인정을 받았다.

20세기 수학사에 한 획을 그은 수학자 힐베르트

20세기 전반의 수학은 독일 수학계의 업적이 전부라고 해도 과언이 아니다. 당시 수학계는 확립되지 않은 공리들을 정리하는 작업과 위상수학, 집합론 등이 자리를 잡고 있었는데 힐베르트는 이 모든 분야에 영향을 끼치며 수학 철학의 한 사조를 확립했다.

힐베르트가 전성기에 남긴 업적은 함수론과 물리분야에서다. 힐베르트는 적분방정식론을 연구하면서 무한차원 공간에 대한 이해를 넓혔다. 오늘날 힐베르트 공간이라는 이름은 물리학자나 수학자 모두 피해갈 수 없는 용어가 됐을 정도다. 특히 이 공간에서의 스펙트럴 분해 이론에 업적을 남기는데, 바로 이 이론이 1925년 하이젠베르크와 슈뢰딩거의 양자역학의 기반을 이루게 된다. 한편 수리물리학의 중요한 방법론인 변분법도 힐베르트가 대단히 심혈을 기울인 주제로, 이 책의 4장을 중심으로 그런 모습이 자주 엿보인다. 쿠란트(Courant)가 저서 ‘수리물리학의 방법론’을 쓰며 힐베르트의 강의와 논문에서 인용한 것이 많고, 수학 연구와 교육에 결정적인 영향을 끼쳤다며 힐베르트를 공저자로 내세웠을 정도였으니 그 중요도가 어느 정도였는지 짐작할 수 있을 것이다.

독일 수학계는 괴팅겐을 중심으로 힐베르트 시대에 정점을 찍었다. 하지만 힐베르트 자신은 말년에는 전쟁의 소용돌이에 휩쓸려 사랑하던 수학계가 무너지는 것을 지켜봐야 했다. 훌륭한 연구자, 저술가이자 강연자였던 이 위대한 수학자의 장례식에 참석할 수 있었던 동료 연구자는 많지 않았다.

힐베르트가 골똘히 고민한 문제들은 무엇이었을까

『기하학과 상상력』은 힐베르트가 어떤 문제에 흥미를 느꼈는지도 살펴볼 수 있다. 특히 힐베르트도 ‘각 나라의 경계를 겹치지 않고 칠하는 데 몇 개의 색이 필요할까?’를 묻는 사색문제를 관심 있게 다루었다는 것이 흥미롭다.

또한 이 책은 기하학의 직관적인 표현에 관한 것뿐 아니라 대수학과 운동학 등 전반의 분야에서 기하학적인 직관이 어떻게 유용한 아이디어로 전환될 수 있는지를 아주 간단하게 보여준다. 예를 들면 단위격자를 생각한 뒤 필요할 경우 약간의 수론을 덧붙여 힘들이지 않고 라이프니츠 급수 를 유도해 내거나 삼차원 및 고차원에서의 격자에 대한 절에서는 유명한 케플러 문제를 포함한 공 쌓기 문제를 다루는 식이다.

금세기에 힐베르트와 콘-포센의 책이 미치는 영향은 아무리 과장해도 지나치지 않다. 가장 놀라운 장은 ‘사영 배치’에 대한 장으로, 힐베르트와 콘-포센은 간단한 도입절을 통해 어째서 기하학자들이 사영 기하에 관심을 가져야 하는지와 간단한 설정만으로 복잡한 구조를 설명하는 아이디어를 얻는 과정을 간결하고 명쾌하게 설명한다. 운동학에 대한 장은 연동장치와 연결되어 있어 어떤 면에서는 제한돼 있는 점 및 막대의 배치에 대한 기하학에 대한 멋진 논증을 담았다. 기하학에서 이 주제는 현대에, 특히 로봇 공학에서 점차 중요해지고 있다. 단순한 상황에 풍부한 기하학을 담는 또 다른 예이기도 하다.

『기하학과 상상력』은 출간된 지 반세기가 넘은 지금도 사람들에게 두루 읽히는 몇 안 되는 고전이다. 시간이 흘러도 여전히 새로운 이 책에는 수학을 잘 설명해 주는 명쾌하고 우아하기까지 한 아이디어가 넘친다. 수학 초보자와 전공자 모두가 이 아이디어의 보고에서 헤엄치며 기쁨을 만끽하길 바란다.

우리 독서계에 본격적으로 소개되는 수학사의 고전들
원저에 담긴 풍부한 영감을 그대로!

힐베르트와 콘-포센의 『기하학과 상상력』은 오일러의 『대수학 원론』에 이어 발간된 살림Math클래식 시리즈의 제2권이다. 수학의 역사야말로 문화와 사상의 역사를 이해하는 기초이자 토대가 된다는 이야기를 하면서도 정작 우리의 지식계에서는 수학사의 고전을 번역하는 일이 거의 전무했다. 그런 의미에서 살림Math클래식 시리즈는 우리의 출판 문화의 빈 곳을 채우는, 소중한 기획이 될 것이다.

앞으로 이어질 힐베르트의 『기하학의 기초』를 비롯해 대중들도 접근할 수 있는 수학사의 명저들을 소개하는 이 기획에 독자 여러분들의 따듯한 관심과 애정을 부탁드린다.

M/S 독서탐구

다비드 힐베르트 슈테판 콘-포센의 기하학과 상상력(지은이:다비드 힐베르트, 슈테판 콘-포센/ 정경훈 옮김)-홍서용

  이 책은 곡선과 곡면, 정칙 점, 사영배치, 미분기학, 운동학, 위상학과 같은 이름만 어려워 보 이는 것을 다루고 있는데, 저는 이 책이 평소 알고 싶었던 분야인 기하학에 대해 조금 더 논리적이고 자세히 알아보고 싶어서 이 책을 선택하여 읽게 되었습니다.

초반에 곡선에 대해 설명을 하고 있는데 가장 처음 나오는 것은 가장 간단한 곡선인 원입니다. 원의 성질과 접선과 원의 중심을 잇는 선중 가장 짧은 선분이 접점과 원의 중심을 잇는 선 이라는 것을 원의 중심과 접점을 이은 선과 접선이 수직으로 만난다는 것으로 간단히 설명 하였습니다. 그다음으로는 타원이 나오는데, 처음으로 보는 거여서 여러 번 읽고 나서야 이게 타원의 정의를 설명해 주고 있다는 사실을 알았습니다. 타원은 두 개의 초점에 각각 길이가 같은 두 선분을 연결 하여 도형을 얻을 수 있는데, 이때 두 초점 사이의 거리가 0이 되게 되면 이 도형은 원이라고 한다고 합니다. 타원과 쌍곡선 등 여러 곡선에 대해설명하고 있고 입체 도형에서 얻을 수 있는 쌍곡선이나 타원에 대해서도 알 수 있었습니다. 이 뒤에는 원뿔곡선에 대해 알아보는데 원뿔곡선은 우리가 흔히 2차함수하고 알고 있는 그래프의 개형의 범위를 포한 한다고 합니다. 에를 들어 원기둥을 비스듬하게 잘라서 단면을 확인해 보았을 때 원뿔 곡선이 나오게 되는데 그러한 곡선을 데카르트 좌표계에 나타내게 되면 2차함수와 같은 그래프가 나온다고 합니다. 그리고 이차곡선만의 신기한 성질 중의 하나는 한 고정점에서 어떤 이차곡면에 그은 접선으로 구성한 뿔은 임의의 절단평면과 만나 원뿔곡선을 이룰 뿐만 아니라 이 이차곡면과의 접점에서도 원뿔곡선을 이룬다고 합니다. 타원과 같은 도형에서 평면과 수직이 되게 타원의 둘레를 돌며 표현한 직선들을 모아 모양을 보게 되면 그 모양이 포물기둥, 쌍곡기둥과 같은 모양이 나오게 되는데 이 때 생기는 기둥은 앞에서 얻은 결과인 원뿔 곡선위의 임의의 점과 고정된 한 점에서 접선을 잇는 직선들을 이었을 때 원뿔곡선을 이룬다는 것과 다르게 이러한 성질이 없다고 합니다. 회전단면을 확장하면 일반적인 타원면을 얻을 수 있는데 회전타원면은 축을 지나는 모든 평면에 대해 대칭이지만 일반적인 타원면의 대칭인 평면은 각각 수직으로 만나고 있는 3개의 주평면 들이라고 합니다. 주평면은 평면들의 교선이 타원면과 만나 잘린 선분들은 서로 다른 세 개의 축을 이루는데 이 세 개의 축을 장축, 중축, 단축 이라고 합니다. 만약 장축, 중축, 단축의 길이를 같게 만들어 버린다면, 평면에서 타원이 원과 길이가 같게 된 것처럼 회전타원면은 구가 될 것 같다고 이 책을 읽으면서 생각 했습니다. 그리고 이러한 회전타원면은 실생활에서도 종종 발견할 수 있는데, 바다에 침식작용에 의해 깎인 돌의 모양을 보게 되면 이러한 타원면과 비슷하다고 합니다. 회전쌍곡면과 회전포물면을 확장해서 얻을 수 있는 곡선에는 한잎 쌍곡면, 두잎 쌍곡면, 타원포물면과 같은 곡선들이 있는데 두 개의 쌍곡면에는 각각 세 개의 주평면이 존재하지만 포물면에는 두 개의 주평면 밖에 존재하지 않습니다. 한잎 쌍곡선은 앞에서 얻은 원뿔곡선과 유사한 모양을 띄고 있으나 조금 다르게 생겼다고 생각 했습니다. 앞에 원뿔 곡선은 곡면에 여러 원뿔 곡선을 가지고 있는데 한잎 쌍곡선은 쌍곡선면에 위에 꼬인 위치에 두고 작도한 세선분이 존재하기 때문에 형태는 쌍뿔곡선과 유사 하지만 전혀 다른 곡면이 만들어 진 것입니다. 그리고 이곡면을 자세히 보면 이 곡면과 임의의 평면과의 교선은 평행하기 때문에 이 곡면은 절대 원이 될 수 없고, 이러한 결과로 볼 때 쌍곡포물 면은 쌍곡곡면을 확장해서 얻을 수는 없다고 합니다. 한잎 쌍곡면은 앞에 설명한 곡면들과 다르게 공간에 특정경로를 고정하고 직선 하나를 그 경로에 따라 움직여 곡면을 형성하는데 이러한 방법으로 만든 곡면을 ‘모선곡면’이라고 합니다. 이차곡면은 9가지 종류가 있는데 이 앞에 설명한 모선곡면에 포함되는 것이 6가지 종류(세 종류의 기둥, 원뿔, 한잎 쌍곡면, 쌍곡포물면 등)가 있는데 마지막에 설명한 두 가지 곡면은 곡면위의 점이 모두 두 개 이상의 직선위에 놓인다는 특별한 성질이 있어 다른 네 가지의 곡면과 구분 되는 성질이라고 합니다. 그리고 두 개의 모선을 포함하는 곡면을 ‘이중 모선곡면’이라고 하고 이러한 곡면에는 이차곡면과 평면만이 여기에 포함된다고 합니다. 남은 세 종류인 이차곡면(타원면), 타원포물면, 두잎 쌍곡선은 직선을 포함 할 수 없고, 곡면은 모두 서로 반대 방향으로 끊임없이 무한이 확장할 수 있다고 합니다.