대칭행렬은 다른 형태의 행렬들보다 활용면에서 더 빈번하게 쓰입니다. 그래서 이번 포스트에서 대칭행렬에서의 대각화 속성에 대해서 알아봅시다. 그리고 추후에 행렬의 함수를 정의하는 방법에 대해서 논의해봅시다. 직교닮음 [2.83]에서 우리는  이의 특별한 케이스인 이와 같은 특별한 경우는 굉장히 중요하며 이러한 관계를 아래와 같이 표현합니다. [1] 행렬의 직교적으로 닮음(orthogonallysimilar)의 정의 A와 C가 같은 크기의 정사각행렬이고 C는 A와 직교적으로 닮았다고 해봅시다. 그리고 그렇다면 여기서 Q는 직교행렬이므로 결국 A는 C와 직교적으로 닮았습니다. 즉, 행렬의 직교닮음은 반드시 상호관계입니다. 따라서 우리는 A와 C가 서로 직교적으로 닮았다(A and C are orthogonally similar)고 표현할 수 있습니다. 다음 정리는 행렬의 직교닮음이 이전에 배운 연산자의 행렬과 밀접한 관련성이 있음을 보여주고 있습니다. ([2.83]의 [2]와 유사합니다.) [2] 행렬의 직교닮음과 연산자의 행렬 사이의 관계 정리 A와 C가 서로 직교적으로 닮으면 어떤 선형연산자 T에 대하여 정규직교기저 B에 대한 T의 행렬이 C이면서 동시에 정규직교기저 B'에 대한 T의 행렬이 A가 되게 만드는 정규직교기저 B, B'이 존재한다. 역으로, 정규직교기저 B에 대한 T의 행렬이 C이면서 동시에 정규직교기저 B'에 대한 T의 행렬이 A라면 A와 C는 서로 직교적으로 닮았다. 먼저 A와 C가 서로 직교적으로 닮은 n×n 행렬이라고 할 때 B'을 A와 C는 서로 닮았으므로 그리고 그 P의 형태는 아래와 같다고 해보자. 여기서 [2.78]에 의하면 이러한 P는 마치 B에서 즉, A와 C가 서로 닮은 n×n 행렬이라면 표준행렬이 A인 증명이 완료된다. 다음으로 즉, 아래와 같을 때 A와 C가 서로 직교적으로 닮았음을 보이겠다. P가 B에서 B'로의 추이행렬이라면 [2.81]의 [1]에 의해 아래의 식이 만족됨을 알고 있다. 즉, 아래와 같다. 이는 따라서 A와 C는 서로 직교적으로 닮았다. 증명이 완료된다. 이번 포스트에서 가장 중요한 부분은 바로 대각행렬과 직교적으로 닮은 행렬은 어떠한 조건을 만족해야하는지입니다. 이 질문은 아래 문제와 같아집니다. [3] 직교대각화 문제(The Orthogonal Diagonalization Problem) 정사각행렬 A가 주어져있을 때 여기서 A를 한 선형연산자의 표준행렬이라고 생각하면 직교대각화문제는 정확히 어떤 정규직교기저에 대한 해당 연산자의 행렬이 대각행렬이 되는지 여부를 묻는 문제와 같아집니다. A가 직교대각화가능하다면 행렬 A가 만족해야할 (필요)조건이 무엇일까요? 단도직입적으로 말하자면 A가 대칭행렬이 되어야만 합니다. 이를 보이기 위해 먼저 A가 아래와 같다고 해봅시다. 여기서 P는 직교행렬이고 D는 대각행렬이 됩니다. P가 직교행렬이므로 아래와 같습니다. 그리고 D는 대칭행렬이기도 하므로 아래에 의해서 A는 반드시 대칭행렬이 되어야만함을 알 수 있습니다. 그러나 A가 대칭행렬이다는 조건이 직교대각화가능의 필요조건임은 보였지만 충분조건임을 보이지는 않았습니다. (물론 조금 있다가 이는 충분조건도 됨을 보일 예정입니다.) 그렇다면 A가 직교대각화가능하다는 것과 동치가 되는 조건은 뭘까요? 바로 아래와 같습니다. (이는 [2.84]의 [2]와 유사합니다.) [4] 직교대각화가능과 고유벡터의 선형독립성 사이의 관계 정리 n×n 행렬 A가 직교대각화가능하다는 말은 A가 서로 정규직교하는 n개의 고유벡터들을 가진다는 말과 동치가 된다. 먼저 A가 직교대각화가능할 때 서로 정규직교하는 n개의 고유벡터들을 가진다는 것을 보이겠다. A가 직교대각화가 가능하므로 따라서 P의 열벡터들은 서로 정규직교하며 [2.84]의 [2]의 증명에서 P의 열벡터들은 P의 열벡터들은 A의 n개의 고유벡터들을 형성한다. 즉, A는 서로 정규직교하는 n개의 고유벡터들을 가진다. 다음으로 A가 서로 정규직교하는 n개의 고유벡터들 이를 위해서 그렇다면 P의 열벡터들은 서로 정규직교하므로 P는 직교행렬이 되며 [2.84]의 [2]의 증명에 의해서 P는 A를 대각화한다. 그러므로 P는 A를 직교대각화한다. "n×n 행렬 A가 직교대각화가능하다는 말은 A의 고유벡터들로 구성된 우리는 이전에 직교대각화가능한 행렬은 반드시 대칭행렬이 됨을 보였습니다. 다음 정리는 모든 대칭행렬은 반드시 직교대각화가능함을 보여줍니다. 그리고 대칭행렬을 직교대각화하기 위한 방법을 제공하는 대칭행렬의 속성을 알려줍니다. [5] 대칭행렬과 직교대각화 사이의 관계 정리 (a) 행렬이 직교대각화가능하다는 말은 대칭행렬이다는 말과 동치가 된다. (b) A가 대칭행렬3이라면 다른 고유공간으로부터 각각 하나씩 추출한 고유벡터들은 서로 직교한다. 여기서 [5]의 (a)를 증명하기 위해서는 대칭행렬의 고윳값에 대한 독특한 특징을 알아야합니다. 우리는 예전에 [2.27]의 [4]에서 모든 성분이 실수인 2×2 행렬은 반드시 실수 고윳값을 가짐을 보인 바 있습니다. 그러나 일반적으로 모든 성분이 실수인 n×n 행렬 역시 반드시 실수 고윳값을 가집니다. 안타깝게도 일반적인 사실을 증명하기 위해서는 복소수 차원으로 행렬과 벡터와 스칼라를 확장시킬 필요가 있습니다. 그러나 이를 확장시키려면 배보다 배꼽이 커지기 때문에 꼼꼼하게 확장시키지는 않을 것이고 아주 어설프게나마 증명과정에서 간략하게 확장시켜봅시다. 아래 보조정리 [5-1]의 증명에서만큼은 행렬과 벡터와 스칼라를 모두 복소수차원에서 생각해봅시다. (물론 [5-1]에서 행렬 A는 모든 성분이 실수이지만 이는 마치 허수성분이 0인 복소수로 이해할 수 있습니다.) [5-1] 대칭행렬의 고윳값 정리 A가 모든 성분이 실수인 대칭행렬이라면 A는 실수 고윳값만을 갖는다. 복소수차원에서도 여러가지 행렬연산(특히 행렬식 연산)과 그 연산의 성질은 실수차원과 전혀 다르지 않다. 또한 고윳값과 고유벡터 역시 실수차원과 전혀 다르지 않다. 임의의 n×n 복소수 행렬(모든 성분이 복소수인 행렬, complex matrix) A에 대하여 p(λ)=det(λI-A)은 복소수차원에서도 복소수계수를 가지는 n차 다항식이 되며 대수학의 기본정리에 p(λ)=0는 반드시 중복을 포함하여 n개의 복소수근을 반드시 가진다. 이러한 복소수근을 복소수 고윳값(complex eigenvalue)이라고 부른다. (즉, 실수 고윳값은 존재하지 않을 수 있지만 다르게 복소수 고윳값은 반드시 존재한다.) λ가 복소수 고윳값이라는 말은 위를 입증하는데 필요할 수 있는 정리들은 실수차원에서만 한정되어 있었지만 복소수 차원으로 확장하더라도 그대로 성립하기 때문에 위가 성립한다. 이러한 벡터 벡터 그러나 복소수차원에서는 실수차원과 달리 점곱(dot product)의 정의가 약간 다릅니다. 따라서 C^n 상의 유클리드 노름(Euclidean norm)도 아래와 같이 정의되어진다. 여기서 |v1|, |v2|, ..., |vn|은 복소수 v1, v2, ..., vn의 절댓값(absolute value) 혹은 모듈러스(modulus)라고 부른다. ([1.40]에서 정의한 바 있다.) 이와 같은 개념을 이용하면 이제 증명할 수 있다. A가 모든 성분이 실수인 대칭행렬이라고 하자. 그리고 λ가 A의 복소수 고윳값이며 그렇다면 아래와 같다. 그리고 위의 사실을 이용하면 아래와 같다. 여기서 여기서 분모는 당연히 실수가 되며 분자가 실수임을 보이면 고윳값 λ가 실수임을 보일 수 있다. 분자는 아래와 같이 분자와 그 분자의 켤레복소수와 서로 같으므로 실수임을 보일 수 있다. 따라서 A의 고윳값은 반드시 실수가 된다. (고등학교 때 배웠던 켤레복소수의 성질과 A가 실수 성분인 행렬임을 이용) n×n 대칭행렬의 경우 이의 특성다항식은 n차 다항식이므로 대수학의 기본정리에 의해 대칭행렬은 반드시 중복을 포함하여 n개의 고윳값을 가지며 [5-1]에 의해서 이러한 n개의 고윳값은 모두 실수 고윳값이 됩니다. 그리고 이에 따라 대칭행렬의 특성다항식은 반드시 실수차원에서 인수분해가능합니다. 이러한 사실과 [5-1]을 이용하여 [5]를 증명해봅시다. (b)부터 증명하고 (a)를 증명하겠다. (b) 증명 이 때 [2.2]의 Theorem 2.2.2.4a의 (a)를 잘 이용하면 아래와 같다. 따라서 결국 다른 고유공간으로부터 각각 하나씩 추출한 고유벡터는 서로 직교한다. (a) 증명 행렬 A가 직교대각화가능하면 대칭행렬이 됨은 이미 보인 바 있다. 따라서 행렬 A가 대칭행렬이라면 직교대각화가능함만 보이면 된다. A가 n×n 대칭행렬이라고하자. 그렇다면 [5-1]에 의해서 행렬 A의 특성다항식은 실수차원에서 인수분해되며 중복을 포함하여 n개의 실수 고윳값을 가진다. 따라서 임의의 실수 고윳값 λ0의 기하적 중복도와 대수적 중복도가 항상 같으면 [2.84]의 [8]의 (e)에 의해서 A는 대각화가능해진다. 이를 보이기 위해 λ0의 기하적 중복도를 k라고 해보자. 그리고 W를 λ0에 대응하는 고유공간이라고 해보자. 그리고 B0= 그렇다면 [2.72]의 [5]의 (b)를 통해 적절한 벡터를 추가함으로써 R^n의 정규직교기저 이제 n×n 행렬 P가 아래와 같다고 해보자. 그렇다면 P는 직교행렬이다. (여기서 B2는 n×(n-k) 행렬이 된다.) 그리고 n×n 행렬 C가 아래와 같다고 해보자. (여기서 영행렬은 (n-k)×k 행렬, X는 k×(n-k) 행렬, Y는 (n-k)×(n-k) 행렬이다.)
여기서 C의 부분행렬인 n×(n-k) 행렬 Z가 아래와 같다고 해보자. 그리고 P는 직교행렬이여서 P^TAP=P^TPC=C가 되므로 C는 대칭행렬이 되어 C의 부분행렬 X는 k×(n-k) 영행렬이 되어야만 한다. A와 C는 서로 닮았으며 특성다항식은 닮음불변이므로 C의 특성다항식은 A의 특성다항식 p(λ)와 같다. [2.84]의 [7]의 증명에 의해서 C의 특성다항식이자 A의 특성다항식은 아래와 같다.
여기서 pY(λ)는 Y의 특성다항식이다. 따라서 pY(λ0)≠0임을 보이면 A에 대한 λ0의 대수적 중복도는 기하적 중복도 k와 같게 된다. 이를 보이기 위해 귀류법을 적용해보자. 즉, pY(λ0)=0일 때 모순이 발생함을 보여보자. pY(λ0)=0라면 λ0는 Y의 고윳값이 되므로 여기서 그렇다면 블록곱셈에 의해서 아래와 같다. 즉, 별도로 그리고 여기서 P는 가역행렬이므로 또한 W는 영부분공간이 아니므로 [2.46]의 [3]에 의해 dim(W)≥k+1이 된다. 그러나 이는 A에 대한 λ0의 기하적 중복도가 k라는 사실(dim(W)=k)과 모순된다. 따라서 pY(λ0)≠0임을 보이면 A에 대한 λ0의 대수적 중복도는 기하적 중복도 k와 같게 된다. 결국 A는 대각화가능하다. A의 서로다른 고윳값이 λ1, λ2, ..., λk라고 해보자. 이는 [5-1]에 의해서 모두 실수가 된다. 그리고 고윳값 λi에 대응하는 고유공간을 Wi라고 해보자. 그리고 Wi의 정규직교기저를 Di라고 해보자. 이 때 D=D1∪D2∪...∪Dk라고 해보자. 그렇다면 D는 A의 고유벡터들로 구성된 집합이 된다. 그렇다면 i≠j일 때 (b)에 의해서 Di∩Dj는 공집합이 되어야하며 따라서 A가 대각화가능하므로 D의 원소의 개수는 dim(W1)+dim(W2)+...dim(Wk)=n이 된다. (대각화가능하면 기하적 중복도의 합은 n이 되므로) 그리고 (b)에 의해서 D는 정규직교기저가 된다. 결국 D에 의해서 A는 서로 정규직교하는 n개의 고유벡터들을 가지게 되므로 A는 직교대각화가능하다. 1. 직교행렬은 자동적으로 가역행렬이다. |
직교 대각 화 - jiggyo daegag hwa
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