이때 캐리어의 이동도는 저 전계 이동도 low field mobility μlf 라는 일정한 값을 가지게 되고, 이 값은 횡방향 전계에 의해 영향을 받는다.
2. 종방향 전계가 크면( 즉 드레인
전압이 크면) 캐리어 속도는 포화되고, 이것은 전류를 이전에 우리가 얻었던 값보다 작게 제한한다.
먼저 종방향 전계가 충분히 낮고, 횡방향 전계에 의해 영향을 받는 low field
mobility를 알아보자
채널을 따라 움직이는 전자의 속도를 포화 상태일때와 비교하면 캐리어의 속도는 μlf라는 일정하고 작은값을 가진다. 왜? 쭉 읽어보자
scattering 메커니즘의 예로써 크게 두가지 lattice scattering(격자 산란), impurity scattering(불순물 산란)가 있었는데 FET의 채널 내에서는 채널 벽과의 충돌로 인한 추가적인 scattering을 고려해야한다.
이러한 채널 벽과의 충돌로 인한 scattering으로 전자(캐리어)의 평균 자유시간 t 는 감소하고 채널내에서의 mobility는 채널 밖에서의(기판)
mobility보다 작은 값을 가진다. 이러한 메커니즘으로 low field mobility μlf는 기판의 몸체 값보다 3분의 1~ 6분의 1 정도로 감소한다.
채널 벽과의 충돌
이러한 채널내에서 캐리어의 scattering을 에너지 밴드다이어그램에서 시각적으로 쉽게 표현하기 위해 다음과 같이 표현할 수 있다.
oxide와 기판 표면의 도랑(에너지 우물)을 channel 로 우리는 볼 수 있는데, 대부분의 이 우물에 빠진 전자들은 바닥쪽에 위치하므로 이 부근에서 channel 의 폭은 극도로 좁다.
저 우물쪽의 폭이 넓어진다면, 그말은 캐리어의 충돌이
줄어들고, 평균 자유시간이 증가, 따라서 mobility가 증가 한다고 볼 수 있을것이다.
즉 정리하자면, 횡방향 전계가 커서 폭이 좁다면, scattering 이 심해져 mobility는 감소한다.
그럼 생각을 해보면 횡방향전계는 소스와 드레인쪽을 비교해보면, 드레인 쪽에서 더 작을 것이다.(드레인에 전압이 인가되어 게이트 전압과의 차이를 줄일테니까)
그럼 low field mobility는 소스에서 드레인쪽으로 갈 수록 증가함을 알 수 있다.
이러한 물성적인 이해를 바탕으로 정량적으로 low field mobility를 구해본다면
채널내에서 횡방향 전계의 값은 conduction band가장자리의 기울기에 의존하는데, 이는 두가지의 함수이다.
1. 채널에 인접한 실리콘 depletion region 내에는 단위면적당 전하 QB가 있다. 이 단위면적당 전하는 p형 기판 내에 고정되어 있으며 음으로 이온화된 억셉터이다.(모스 커패시터에서 이러한 전하들을 공부했다.)
2. 채널 내에는 움직일 수 있는 전하
Qch 가 있고, 이 전하 캐리어의 움직임이 전류가 된다.
E = -qVa 라고 했다. 이들 Q의 양의 다수에 따라 채널의 위치에너지는 증가
또는 감소하고 기울기에 영향을 미친다
즉 횡방향 전계의 강도는 도핑(QB에 연관), 바이어스(인가한 전압,
Qch 에 연관), 그리고 채널의 깊이에 따라 변한다.
이런 변수들을 고려한 실험적
결과로 low field mobility는 다음과 같이 표현 된다.
이 그림에서 low field mobility는 x축 변수에 따라 직선적으로 감소함을 알 수 있고
low field mobility는 다음과 같이 근사된다.
세타는 기울기의 음수 값이 된다.
지금까지 우리는 횡방향 전계가 low field mobility에 미치는 영향을 알아보았는데, 이전에 상수값의 mobility로 구한 전류-전압 특성곡선과 비교해 보자
이러한 식의 전류 유도 공식에서 y의 위치에 따라 mobility가 변하는것을 감안하기 위해서
low field mobility값을 대입하면
이렇게 된다.
이를 적분 구간을 적용하여 적분을 할시
이러한 값을 얻게된다.
그런데 이러한 식은 해석을 진행하기가 매우 힘들다. 따라서 우리는 low field mobility의 채널 전압에 대한 의존성을 편의상 제거하고
다시 적분을 하게 되면, mobility가 Vch 에 대해 적분할때 적분밖으로 빠져나올수 있으니
이러한 값을 가지게 된다.
이는 이전의 전류 공식에서 그저 mobility를 low field mobility로 바꾼 값이 된다.
그러니까 여기서는 mobility가 VGS 함수라는 것말고는 이전과 차이가 없다.
횡방향 전계를 고려하여 구한 전류의특성곡선과
이동도를 단순 상수로 지정하여 구한 전류의특성곡선을 비교해보면
이와 같이 횡방향전계를 고려한 결과 드레인 전류가 현저히 감소했음을 알 수 있다.
다만 이 개형은 우리가 해석을 쉽게하기 위해 아까 mobility에서Vch 를 고려하지 않은 경우이므로 다소 이 그래프는 게이트전압에 심하게
의존하는 경향이 있다.
그저 눈으로 기억해두면 좋을 것같다. 횡방향 전계를 고려하면 드레인 전류는 감소한다는것.
그럼 지금까지 우리는
횡방향 전계가 low field mobility에 미치는 영향, 드레인 전류에 미치는 영향을 알 게되었다.
그럼 이제 low field mobility를 고려하고 추가적으로 종방향 전계의 증가가 채널내의 mobility에 어떠한 영향을 미치는지 확인해보자
반도체 내에서 캐리어의 속도는 전계가 증가함에 따라 커지고, 나중에는 포화된다.(더 이상 증가하지 않는다)
이는 모스펫과 같은 곳에서 중요성이 대두되는데(모스펫의 채널은 아무리 long channel이라해도 마이크로미터 단위이기때문)
채널내에서 전계가 매우강하기 때문이다
실험적인 결과로써 FET의 채널 내에서 캐리어 속도는 다음과 같이 표현된다.
여기서 간단하게 한 문자로 mobility를 표현하기 위해
이와 같이 이동도 (mobility)를 표현 할 수 있다.
이식 으로 부터 종방향 전계의 증가와 함께 mobility가 감소함을 알 수 있다.
VGS = 1.42V 일때 종방향 전계의 함수로 나타낸 채널내의 캐리어(전자)의 이동도와 속도를 비교하면
이와 같은데 이 교점으로부터 포화속도는 대략적으로
임을 알 수 있다.
즉 MOSFET 채널내의 캐리어의 포화 속도는 low field mobility에 어느정도 의존하고 low field mobility는 온도, 횡방향 전계, 기판의 도핑 농도 등에 의존한다. 왜냐하면 횡방향 전계의 강도로 에너지밴드다이어그램에서 도랑의 폭이 변하고, 도핑농도등으로 인해 에너지 밴드 다이어그램이 변형을 일으키기 때문이다.
보통 따로 포화 속도에 대한 언급이 없을 경우 4 * 107 으로 생각한다(기판 실리콘에 대한 값이다)
이러한 생각을 토대로 종방향 전계가 드레인 전류에 미치는 영향도 해석해보자
위에서 구한 mobility를 대입시켜 전류의 식을 재구성하면
이 된다.
이 식을 분모 분자를 곱해주는등 똥꼬쇼를 진행한 후에 쭉쭉 정리해 나가면
triode영역, 즉 포화 이전
포화 이전의 공식은 위와 같고 포화 이후에는
포화 이후
이러한 값이 나오게 된다. 기존의 식과 다른점은 L 뒤에 뭐가 붙어 있다는 것이다.
이말인 즉슨 종방향 전계를 고려한 mobility를 적용한 결과 채널길이가 이전의 단순한 모델에 비해 더 길어진것과 같다는 것이다.
이 효과를 감안하여 위에서 구한
공식들은 다음과 같이 변형 가능하고
이러한 표현으로 인해 종방향 전계를 고려한 드레인 전류의 공식은 다음과같이 간결해진다
종방향 전계를 고려함에 따라 속도 포화가 달라졌으니까 no velociry saturaion model 이란
횡방향 전계만을 고려한 드레인 전류값이 된다.
이러한 식 으로부터 long channel 에서 주어진 조건으로 부터 발생할 전류의 감소는 채널의 길이가 짧아질수록 커진다. 왜냐하면 채널의 길이가 짧을수록 종방향 전계가 크니까. 속도포화값이 덜 줄어들면, 전류의 값도 덜 줄어들테니.
따라서 횡.종방향 전계를 모두 고려한 드레인 전류 공식은 다음과 같이
요약된다.
이러한 특성곡선에서 VDS.SAT 은 어떻게 찾아야할까
이전에는 VDS = VGS -VT 가 되는 지점으로 아주 간단했지만(굳이 전류 곡선의 기울기가 0이되는 지점을 찾을 필요도 없었다)
이번엔 안타깝게도 미분을 해서 0이되는 지점을 찾아야 한다.
이러한 과정을 거치면 포화 드레인 전압은 다음과 같이 구해진다
W 폭에는 영향을 받지 않고 L에만 영향을 받는다. 이 표현방법이 외우기 더 쉽다
이 수식으로부터 long channel 에 있어서 L 이 크면 클수록 포화 드레인 전압은
VGS-VT 로 접근을 한다.
(simple model 인셈)
그럼 이제 이 게시글 이전에 구했던 simple long channel 모델로 부터 구한 드레인 전류 특성식과 속도포화를 포함한 모델을 비교해보자.
VGS-VT =1V , L=100나노미터 를 선택했다.
사실 SIMPLE MODEL의 경우에도, 전자와 정공의 low field mobility 는 정공의 mobility가 2.5배 낮게 나타난다.
따라서 NFET와 PFET을 모두 사용하는 회로 예를 들어 CMOS의 경우 회로를 설계함에 있어서 두 소자의 포화전류가 같아지도록 하는것이 좋을것이다. 두소자의 포화전류가 다르면 감안해야할점이 몇배는 늘어날테니.
따라서 두 소자의 포화 전류 값을 맞추기 위해 보통 W/L 비율을
PFET의 경우 2.5배 늘리게 된다.
하지만 이렇게 비율을 고치더라도,
이식으로 알 수 있듯이 속도포화를 고려한 모델에서, 둘의 포화 전류 크기의 차이는 불가피하게 생길 수 밖에 없다.
이는 아래의 그림으로 나타내어진다.
이 그림을 잘 보면 알겠지만 VDS가 작아서 아직 종방향 전계를 고려하지 않을 시점(즉 속도포화를 고려하지 않을 시점)에는 두 FET의 전류가 같지만, VDS가 좀 더 커져서 종방향 전계를 고려(속도포화를 고려)해야 하는 시점 부터는 두 FET의 포화 전류의 값이 달라지므로, 두 소자의 포화 전압(VDSSAT)도 다르다.
추기)
지금까지 게시글에서 모스펫의 ID-VDS 특성은 소자가 saturation 일때 채널전하 Qch 는 0 으로 접근한다고 뒀다. 근데 설명한 바로는 Qch 와 속도 v의 곱이 유한하므로(ID가 일정한 값인
IDsat으로 유지되니까) . Qch가 0으로 접근함에 따라 v는 무한하다는 말이 되는데, 이 게시글에서 언급한것처럼 높은 종방향 전계에서 캐리어 속도는 포화되므로, Qch 와 v의 곱이 유한하기 위해서는 Qch 도 어떠한 유한한 값(최소값)을 가져야 한다.
위에서 간략히 말한바로 속도가 최대(종방향전계가 임계값에 도달했을때 ) 가 됐을때(vsat) charge 는 minumum 한 값을 가진다
하지만 종방향 전계가 임계값에 도달하기 전에는 속도도 포화되지 않으므로 어떠한 함수형태로 나타나게 되는데
