로그 고등 수학 - logeu godeung suhag

로그의 정의

$ a>0 $, $ a \neq 1 $일 때, 양수 $ N $에 대하여 $ a^x=N $을 만족하는 실수 $ x $는 하나 존재한다. 이 실수 $ x $를

\begin{gather*}
x=\log_a N
\end{gather*}

으로 나타내고, $ a $를 밑으로 하는 $ N $의 로그라고 한다. 이 때 $ N $을 $ \log_a N $의 진수라고 한다.

• $ \log $는 logarithm을 줄인 말로 그리스어인 비(logos)와 수(arithmos)가 결합된 것이다.

다음 등식을 만족시키는 $ x $의 값을 구하여라.

1. $ \log_2 x = 4 $
2. $ \log_x 1000 = 3 $

1. $ x = 2^4 = 16 $
2. $ x^3 = 1000 \ \ \ \therefore \ \ x=10 $

$ \boldsymbol{ \log_a N } $이 정의될 조건

1. 밑은 $ 1 $이 아닌 양수 : $ a > 0, \ a \neq 1 $
2. 진수는 양수 : $ N > 0 $

$ \log_{x-2} (8-2x) $가 정의되도록 하는 실수 $ x $의 값의 범위를 구하여라.

$ x-2 > 0, \ \ x-2 \neq 1, \ \ 8-2x > 0 $

$ { 2 < x < 3 } $ 또는 $ { 3 < x < 4 } $

로그의 성질 1

1. $ \log_a 1 = 0, \ \log_a a = 1 $
2. $ \log_a xy = \log_a x + \log_a y $
3. $ \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y $
4. $ \log_a x^n = n \log_a x $

로그의 밑의 변환 공식

$ a $, $ b $, $ c $는 양수이고 $ a \neq 1 $, $ c \neq 1 $일 때

\begin{gather*}
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
\end{gather*}

• $ \displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{1}{\dfrac{\log_c a}{\log_c b}} = \frac{1}{\log_b a} $

로그의 성질 2

1. $ \log_{a^m} x^n = \dfrac{n}{m} \log_a x $
2. $ a^{\log_b c} = c^{\log_b a} $

[수1] 1. 지수함수와 로그함수 - 지수(2)

안녕하세요.

저번 시간 거듭제곱과 거듭제곱근의 개념에 대해 알아봤습니다.

https://playground10.tistory.com/212

[고2수학_수1] 1. 지수함수와 로그함수 - 지수(1), 거듭제곱과 거듭제곱근

안녕하세요. Playground입니다. 이번 포스팅부터 고등학교 2학년 수학인 수1과정에 대해 포스팅하려고 합니다. 수학은 기초부터 응용까지 쭉 연계가되서 한 번 놓치면 중간부터 공부하는것이 어려�

playground10.tistory.com

1_2. 거듭제곱과 거듭제곱근(2)

이번에 알아볼 목록입니다.

- a의 n제곱근, 방정식 x의 n승 = a의 실근인 경우의 수

알아볼 목록의 제목만 보면 저건 무슨말이지?라는 생각이 드는데

이 식에서 n이 홀수일때와 짝수인 경우 근의 갯수가 다릅니다.

아래 예를 보겠습니다.

ⓐ n이 홀수일때   

위와 같이 n이 3이라면 홀수입니다.
x의 값은 5로 실근이 1개만 존재합니다.
5를 세제곱하면 125이지요?
만약 x의 값이 -5라면 y(x의 3승) = -125이 됩니다.

다른 예를 들어보겠습니다. 아래 a의 값은 -64입니다.

이 때 x의 값은 -4로 실근 1개만 존재합니다.

결론 : n이 홀수일 때 실수 a의 값에 관계없이 실근 1개 존재.

★ 좀 더 추가한 글

ⓐ_1. n이 홀수일때 그래프

그래프를 보면 원점 대칭으로 180도 회전시키면 포개어집니다.

그러므로 x좌표나 y좌표 모두 부호가 둘다 바뀝니다

또 직선 y = a와의 교점은 실수 a의 값에 관계없이 항상 한개 존재합니다.

교점은 

인 점입니다.(1번 함수식에 x의 값을 대입해보면 2번 식이 나옵니다.)

ⓐ n이 짝수일때   

n이 짝수일 경우(2, 4, 6, 8, 10.....)는 3가지 경우의 수가 있습니다.

- a > 0 이면 실근은 2개 존재
- a < 0 이면 실근은 존재x
- a = 0 이면 실근은 0, 1개 존재

a > 0 이면(0보다 크다면) 실근은 2개 존재

예)

제곱해서 64가 되는건 <+8, -8>로 실근이 2개입니다.

 a < 0 이면 실근은 존재x

2번 곱해서 마이너스가 되는 실수는 존재하지 않습니다.

아래 그래프를 보면 파란색 y = x의 n승 그래프는 음수의 영역에 있지 않지요?

파란색 그래프 y = x의 n승은 0보다 큰 위로만 존재, 짝수는 거듭제곱하면 음수건 양수건 양수만 나오기 때문입니다.

 a = 0 이면 실근은 0, 1개 존재

n제곱해서 0이 되는건 0밖에 없으므로 1개 존재합니다.

★ 좀 더 추가한 글 

ⓐ_1. n이 짝수일때 그래프

파란색 그래프를 보면 y의 범위는 양수인 경우만 존재합니다(0포함)

0보다 클 경우 -값과 +값 2가지 근이 존재하고, 음수의 경우는 존재하지 않습니다.