Rc회로 시간상수 - rchoelo sigansangsu

이번에 포스팅할 내용은 RC회로와 RL회로에대한 내용입니다. 이 회로들은 first-order circuit이라고도 부릅니다. 즉, 1차 미분방정식이 포함되어있기 때문입니다. 커패시터와 인덕터는 전압과 전류를 표현할때 미분의 형태로 포함해서 이 회로들을 해석할때는 미분방정식을 풀어야만 합니다. 본론으로 들어가서 설명드리도록하겠습니다.

전원이 없는 RC회로와 RL회로의 경우 일정시점부터 독립전원을 제거하여 나타낸 회로입니다. 이 회로에서 전압 및 전류는 초기조건 ( 초기전압, 초기전류 )에 의해서 과도응답이 결정되는 형태로 나타납니다. 각 회로들을 살펴보겠습니다.

① Source-free RC회로

저항과 커패시터가 직렬로 연결된 전원이 없는 회로의 모습입니다. 여기서 커패시터는 초기에 충전이 된 상태라고 가정하겠습니다. 이 회로의 응답을 구하기 위해서 시간에 관한 함수 전압 v(t)가 커패시터 양단에 t=0일때 V0만큼 충전되었다고 가정하고 문제를 해결하도록 하겠습니다.

$$v(0) = V_o$$

$$w(0) = \frac{1}{2}CV_0^2$$

초기조건은 위와 같습니다. 이제 위 회로에서 KCL을 적용하여 회로의 응답을 구하도록 하겠습니다.

시간에 따른 전압의 식을 얻어내면 위와 같습니다. 이 식은 전원이 없는 RC회로에서 전압이 방전되는 즉, 과도응답상태를 나타내는 표현식입니다. 여기서 τ는 시정수(Time Constant)라고 합니다. 시정수란 초기값에서 36.8%(1/e)크기로 될 때의 시간을 말합니다. 따라서 RC회로의 시정수 τ는 τ=RC 입니다. 그래프를 통해 응답의 상태를 눈으로 확인하겠습니다.

회로의 시정수 τ값이 작다면 전압의 감소는 더욱 빨리 일어나게됩니다. 즉, 더 빠른 응답을 얻을 수 있게되죠 (정상상태로의 응답). 어떠한 시정수 값을 가지든 일반적으로 5τ이내에 정상상태로 들어오게됩니다. 여기서 정상상태란? 충분한 시간이 흐른뒤에 회로의 응답을 의미합니다.

② Source-free RL 회로

위 RL회로도 초기상태를 정의하고 시작하겠습니다.

$$ i(0) = I_0 $$

$$w(0) = \frac{1}{2}LI_0^2$$

인덕터는 초기값과 초기상태의 에너지를 가지고 충전된 상태입니다. 이제 회로에 전원이 제거된 상태이니 에너지가 방전되는 과정을 시간에관한 함수로 나타내보겠습니다.

RL회로도 과정은 동일합니다. 바로 그래프를 통해서 회로의 응답상태를 보겠습니다.

2. RC회로와 RL회로의 응답

이번에는 RC회로와 RL회로에 순간적으로 전압원이나 전류원에 변화를 주어 그 응답을 보도록 하겠습니다.

① RC회로의 응답

위와 같은 RC회로가 있습니다. t=0인 시점에 갑자기 회로를 연결하여 전원을 인가하면 회로는 전압원 Vs와 저항 R, 커패시터 C가 직렬로 연결된 회로가 됩니다. 이때의 회로의 응답은 어떻게 될까요?

t = 0 인시점에서 전압의 관계는 다음과 같습니다.

0-와 0+는 고등학교에서 배웠던 극한의 개념으로 이해하시면됩니다. 0-는 회로가 연결되기 직전의 순간, 0+는 회로가 연결된 직후의 순간을 뜻하는 의미입니다. 이 순간에 전압의 초기값은 V0라는 값으로 가정하고 응답상태를 보겠습니다.

초기전압 V0를 0으로 가정하면 식은 아래처럼 바뀌겠죠?

위 식을 이용해서 회로에 흐르는 전류의 응답도 구할 수 있습니다.

회로의 완전 응답 ( Complete Response)는 과도응답 (Transient Response)와 정상상태응답 (Steady-state Response)의 합으로 얻어집니다. 즉, 위 회로에서 과도응답을 구했으니 정상상태응답에 대해 생각해보겠습니다. 회로에서 충분한 시간이 지났을 때 회로의 응답상태가 정상상태 응답이라고 정의했습니다. t가 충분한 시간이 지났을때 전압의 값은 Vs로 수렴합니다. 그렇기 때문에 정상상태 전압 Vss= Vs로 얻어집니다. 이를 바탕으로 회로의 완전 응답을 구하면,

위 식이 얻어집니다. 즉 완전응답을 구하기위해서 저희가 3가지를 구해야하는것을 알 수 있는데요. 회로의 초기상태의 전압값, 회로의 정상상태 전압값, 회로의 시정수를 구하면 완전응답에대한 식을 구할 수 있습니다. 식의 구조는 아래와 같습니다.

예시를 통해 회로의 완전응답을 구해보겠습니다.

t = 0인 시점에서 A에서 B로 회로의 전원을 갑자기 바꿨을때 어떤 응답을 보이는지 확인하고 RL회로로 넘어가겠습니다.

② RL회로의 응답

위의 RL회로 또한 t=0인 시점에 회로에 갑자기 Vs라는 전원이 공급됩니다. 이때 초기상태를 아래와 같이 정의하겠습니다.

저희는 RC회로를 통해서 first-order circuit에서 과도상태의 응답을 표현하는 방법에대해서 알고있습니다.

과도상태 전류 표현식을 이용해서 위 회로에서 전류 i에 관한 식을 세워 보겠습니다.

미지수 A값을 구했으니 이 값을 전류의 식 i에 대입하겠습니다.

RL회로 역시 완전응답의 표현식은 RC회로와 같은 구조입니다. RL회로의 완전응답식을 보고 넘어가도록 하겠습니다.

이제 RL회로에 대한 예시를 살펴보겠습니다.

또다시 t=0 인 시점에 회로에 변화를 주고 응답을 확인해보겠습니다.

이상으로 회로이론 RC회로와 RL회로에 대한 포스팅을 마치도록 하겠습니다.

회로의 응답은 과도응답 + 정상상태응답 인점 꼭 잊지마시고 기억해주세요!

감사합니다 :)

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