원뿔의 겉넓이 공식 - wonppul-ui geotneolb-i gongsig

우선 원뿔의 부피를 계산하기 위해선 반지름(r)과 높이(h)를 알아야 합니다. 빗변이 주어진 경우 피타고라스의 공식을 통해 높이를 구해야 합니다.

반지름(r)과 높이(h)를 알고 있다면 아래 계산기를 통해 계산이 가능합니다.

원뿔의 겉넓이는 위 사진과 같이 부채꼴과 원으로 계산해야 합니다. 둘레로 호의 길이를 구하고, 반지름과 높이 호의 정보로 겉 넓이를 계산하면 됩니다.

아래 게시물을 참고하셔서 계산하시면 됩니다.

[수학 계산기] 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식 (계산기)

부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 구하는 2가지 공식을 알아보도록 하겠습니다. 아래 각 계산기에 반지름과 중심각(호)을 입력하면 계산된 값이 나옵니다. 부채꼴 호의 길이 공식과 계산기

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모선의 길이가 $a$, 밑면인 원의 반지름이 $r$인 원뿔에 대하여$~~~~~~~~$(원뿔의 겉넓이)$=\pi r^2 +\pi ra$

원뿔의 겉넓이는 밑면인 원의 넓이와 옆면인 부채꼴의 넓이의 합으로 구할 수 있다.

따라서 모선의 길이가 $a$, 밑면인 원의 반지름이 $r$인 원뿔의 겉넓이는 다음과 같이 구한다.

$\begin{aligned} (원뿔의 겉넓이) & =(밑넓이)+(옆넓이) \\ & =\pi r^2+\dfrac{1}{2}×a ×2\pi r \\ & =\pi r^2 +\pi ra \end{aligned} $

관련교과서 : 금성 247쪽, 비상 259쪽, 두산(강) 300쪽, 천재(이) 334쪽, 미래엔 229쪽

확인문제

다음 그림과 같은 원뿔의 겉넓이를 구하여라.

정답 확인하기

더 알아보기

원뿔의 전개도

밑면인 원의 반지름이 $r$이고 모선의 길이가 $R$인 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 $x˚$라고 하면 다음이 성립한다.

$$2\pi ×R×\dfrac{x}{360} =2\pi ×r,    \dfrac{R}{r}=\dfrac{360}{x}$$ 따라서 부채꼴의 중심각의 크기 $x˚$는 다음과 같다.
$R=2r$이면      $x˚=180˚$
$R<2r$이면      $x˚>180˚$
$R>2r$이면      $x˚<180˚$

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의견나눔

원뿔은 많이 접하게 되는 입체 도형중 하나다. 문제에서도 상당히 단골로 나오는 도형이기도 하다. 이번 글에서는 원뿔의 겉넓이와 부피 공식을 차례대로 살펴보도록 하겠다.

원뿔의 겉넓이는 결국 원뿔의 옆면 + 원뿔의 밑면의 값이다.

아래와 같은 원뿔이 주어진다면 겉넓이는 다음과 같이 말할 수 있다.

밑면은 결국 원의 넓이니까 그리 어려운 내용이 아니다.

원의 넓이 구하는 방법을 모르겠다면

원의 둘레(원주)와 원의 넓이 구하기←클릭

문제는 옆면의 넓이를 구하는 것이다. 원뿔의 옆면은 모선을 반지름으로 하는 부채꼴의 넓이라는 것을 알 수 있다.

그럼 여기서 부채꼴의 넓이를 구하는 방법을 잠깐 살펴보자.

부채꼴의 넓이 구하는 식

부채꼴의 넓이 구하는 식에는 부채꼴의 반지름과 호의 길이가 포함되어있다. 이것을 원뿔로 끌어와서 생각해보자.

부채꼴의 반지름은 원뿔의 모선의 길이고 호의 길이는 밑면의 둘레 즉 밑면은 원이니 원주의 길이가 되는 것이다.

이 사실은 반드시 기억해야한다. 어렵지 않은 사실이지만 기억하지 못한다면 정말 낭패 본다....

그러면 이제 원뿔의 모선의 길이를 구해보자. 모선의 길이는 구하는 것은 간단하다.

간단하게 피타고라스의 정리를 이용하며 모선의 길이를 쉽게 구할 수 있다. 모선의 길이를 구했다면 이제 원뿔을 펼쳐보자.

펼쳐보면 옆면은 부채꼴이라는 것을 확실하게 알 수 있으며 호의 길이는 밑면을 이루는 원의 원주, 부채꼴의 반지름은 모선의 길이라는 것을 다시 확인할 수 있다. 원주의 길이는 2πr 이다. 그럼 이제 옆면을 구하기 위한 모든 길이를 알게 되었으니 부채꼴의 넓이를 구하는 공식에 대입하여 적용시켜보자.

이렇게 해서 원뿔의 옆면의 넓이를 구하는 식을 끌어낼 수 있다.

원뿔의 부피를 구하는 식은 잘 알려져 있다.

밑면의 넓이 X 높이 X 1/3 이므로 식으로 표현하면

왜 3분의 1을 곱해야 하는지를 알고 싶다면 아래의 글을 참조하자.

뿔의 부피는 왜 기둥의 부피의 3분의 1일까????

뿔의 부피는 왜 기둥의 부피의 3분의1일까????

개요 모든 각뿔의 부피는 각기둥의 부피의 3분의 1을 곱하면 된다는 것을 어린 시절부터 배워왔을 것이다. 이 공식은 초중학교 시절에 배우는 것으로 기억하고 있는데 왜 이렇게 계산하면 되는

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