Y a 대칭 - Y a daeching

2. 대칭이동

대표적인 대칭이동인 x축대칭, y축대칭, 원점대칭, y=x대칭, y=-x대칭, x=a대칭, y=a대칭, 점대칭을 공부하기 전에

대칭이동은 선대칭과 점대칭으로 나누어져있기 때문에

선대칭과 점대칭의 기본적인 부분부터 공부하도록 해요.

◆ 선대칭

데칼코마니라고 들어보셨습니까?

종이를 반으로 나누어서 한쪽면에다 나비모양으로 물감을 진하게 발라서 반으로 접어서 피면 나비가 되잖아요?

출처 : doopedia.co.kr

선대칭 또한 같은 개념인데

어떤 점을 한 직선에 대해서 대칭하라는 것은 데칼코마니처럼 선을 기준으로 접는 것처럼 이동해 주면 되고,

데칼코마니를 모르면 거울이라 생각해도 좋습니다.

(직선에대한 대칭 = 선대칭)

◆ 점대칭

반면, 한 점을 기준이 되는 다른 한 점에 의해 대칭이동시킬 때,

아래 그림과 같이 점대칭은 접는다기 보다는 기준이 되는 점이 중점이라고 보시는게 좋습니다.

다른말로, 대칭시켜야 할 점을 기준점으로 일직선으로 선을 긋고, 선을 그은 만큼 더 연장선을 그은 그곳이 대칭된 점이 되는 것입니다.

(점에대한 대칭 = 점대칭)

하지만 이러한 점대칭에 대한 생각은 점이아닌 그래프를 점대칭시킬 때, 막혀버립니다.

그러나 점대칭은 언제나 두 개의 선대칭으로 바꿀 수 있다는 사실만 기억하면

그림으로도 손쉽게 점대칭을 할 수 있게됩니다.(방법은 바로 아래에 있지요)

점대칭은 그 점에서 십자가로 교차하는 2개의 선을 그어서 대칭하는 대상을 만들어진 2개의 직선에 모두 대칭해 주면 됩니다!!.

아래의 그림은 십자가를 그려서 만들어진 2개의 선으로 y=f(x)를 점 A의 기준으로 대칭하는 방법을 설명한 것입니다.

최선을 다했지만 난잡할지도 모르겠네요.ㅜ

  (1) x축 대칭, y축 대칭, 원점대칭

● x축에 대해서 대칭하라!

( 3 , 1 )을 x축에 대하여 대칭이동 해보자.

⇒ 대칭하고자하는 점의 y의 부호가 바뀝니다.

● y축에 대해서 대칭하라!

( 1 , 2 )를 y축을 기준으로 대칭이동 해보자.

⇒ 대칭하고자하는 점의 x의 부호가 바뀝니다.

● 원점에 대해서 대칭하라!

( 3 , 5 )를 원점을 기준으로 대칭해보자.

⇒ 대칭하고자하는 점의 x , y 둘 다 부호가 바뀝니다.

(점대칭은 항상 십자가를 그리고 그려진 두 개의 선에 대칭인것과 마찬가지이므로 원점대칭은 x축대칭, y축대칭을 모두 한것과 같습니다!!)

  (3) y=x대칭, y=-x대칭

y=x대칭은 조금 어려운데요..

y=x라는 직선은 좌표평면에서 x와 y의 좌표가 일치하는 점들을 모은 직선입니다.

일단 ( 5 , 3 )을 y=x를 기준으로 대칭한다고 하자면 아래와 같은 그림이 됩니다.

그럼 대칭된 점의 좌표를 구해보도록 하겠습니다.

정리하면 ( 5 , 3 )을 y=x대칭하면 ( 3 , 5 )가 됩니다.

즉, y=x 대칭하면 x와 y를 바꿔주면 된다는 결론이 나옵니다.

y= -x대칭까지 결론만 내줄게요.

y=-x대칭하면 x와 y를 바꿔주면서 부호도 바꿔줘야 합니다.

예를 들어, ( a , -b)를 y=-x대칭하면 ( b , -a )가 됩니다.

과정은 조금 복잡해 보일지 모르나 진심 쉽습니다. 여기가 '글'의 형식이라 무엇을 설명하기가 무척 까다롭습니다.

무리한 기대일지도 모르지만 처음 배우는 사람도.. 이해됐기를 바랍니다. ㅜ

  (3) x=a, y=b대칭, 점대칭

이것은 처음에 배운 선대칭이랑 같습니다.

x=a직선은 y축에 평행한 직선인데요.

만약 x=2라는 직선을 그리고 싶다면 x좌표가 2인곳 아무곳이나 잡아서 y축에 평행하도록 세로로 평행하게 그어주시면 됩니다.

어쨌든 x=a의 직선을 기준으로 대칭하려면, 직선을 평균으로 삼아 대칭된 점의 좌표를 잡아주시면 됩니다.

무슨소리냐?

예를 들어, 점 (3 , 5)를 x=5라는 직선에 대칭이동한 점을 (a , b)라고 한다면,

아래 그림에서 보시다시피 높이(y좌표)는 변하지 않을테니까 b는 그대로 5가 되고요.

x좌표는 원래 점과 대칭된 점과의 중점이 x=5의 5가 되면 됩니다.

즉, 원래 점의 x좌표인 3과, 대칭된 점의 x좌표인 a의 평균이 "5"가 되도록 a를 구해주면 되고 평균은 각각 더해서 2로 나누면 평균이 나오므로

평균을 이용하면 (3+a)/2 = 5 라는 식을 세울 수 있는데 여기서 a를 구하면 7이 나오므로

대칭된 점은 ( 7 , 5 )입니다.

이것을 공식화 시켜서 외우고 싶다면 기준이 되는 직선을 찾아서

그 직선에 붙어있는 상수(x=3이라면 3이 상수)에 2배를 곱해서 원래점의 x값을 빼면 대칭점의 x좌표가 나오고, y좌표는 변하지 않습니다.

외울땐 ⇒ "2배 마이너스 x"라고 간단히 외웁시다.

아니면 이렇게 풀이해도 상관 없습니다.

위에 그림에서 보면서 따라와주세요.

(3 , 5)를 x=5라는 직선을 기준으로 대칭한다면 3에다가 2를 더해야 x=5의 상수인 5가 나오므로 5에다가도 2을 더하면 대칭인 점이 나옵니다.

평균을 이용한 거잖아요? 당연하겠죠.

예를 들어, (1, 3)을 x=2에 대칭하려고 한다면

대칭점의 x좌표는 직선의 상수에 2배한 다음 x좌표를 빼야하는데

직선의 상수는 2이므로 2에 2배하여 x좌표인 1을 빼면 2×2-1 = 3이 나옵니다.

또, y좌표는 변하지 않으므로 대칭점의 좌표를 (3, 3)이라고 구하면 되지요.

 y=b도 같은 방법으로 하면 됩니다.

공식화 시키자면 "2배 마이너스 y"

(직선에 붙어있는 상수에 2를 곱해서 대칭이동시키고자 하는 점의 y값을 빼면 됩니다. x값은 변화하지 않습니다.)

예제)

(1, -2)를 y=4에 대칭해보세요.

대칭한 점의 x좌표는 변하지 않으므로 대칭한 점을 ( 1, a )라고 두면

-2이와 a의 평균(중점)이 y=4의 4가 되어야 하므로

구하면

a는 10이 됩니다. (검산;;ㅋ 10과 -2의 평균이 4가 되므로 맞음)

따라서 대칭한 점은 (1, 10)이라는 것을 구할 수 있습니다.

점대칭은 앞에서 배웠듯이 십자가를 그려서 그 두개의 직선에 대칭시키면 됩니다.

만약 어떤 점을 (1 , 2)에 대칭이동하라고 한다면 x=1, y=2대칭을 둘 다 해주면 됩니다.

아니면 대칭의 기준이 되는 점이 평균점이라고 생각하면 됩니다.

예를 들어 (1 , 3)을 ( 5 , 2 )에 대칭이동하라고 한다면 ( 1 , 3 )을 x=5, y=2에 대칭해주면 (9 , 1)임을 알 수 있습니다.

아니면 (1 , 3)와 ( a, b)의 중점이 기준이 되는 ( 5 , 2 )이므로 평균을 이용하여 a=9, b=1인 것을 알 수 있지요.

점 ( 1 , 3 )을 대칭이동하자.

x축대칭 : y의 부호를 바꾼다. ( 1 , -3 )

y축대칭 : x의 부호를 바꾼다. ( -1 , 3 )

원점대칭 : 둘 다 부호를 바꾼다. ( -1 , -3 )

y=x대칭 : x와 y를 바꾼다. ( 3 , 1 )

y=-x대칭 : x와 y를 바꾸면서 부호도 바꾼다. ( -3 , -1 )

x=a대칭 : 2배 마이너스 x  = ( 2a-1 , 3 )

y=b대칭 : 2배 마이너스 y = ( 1 , 2b-3 )

(a , b)대칭 : 2배 마이너스 x , 2배 마이너스 y  = (2a-1, 2b-3)

대칭이동 두 번째에요. 점과 도형의 대칭이동에서는 어떤 기준(x축, y축, 원점)을 사용했느냐가 중요하죠. 그리고 그 기준에 따라 대칭이동했을 때 x, y의 좌표가 어떻게 바뀌는지도 알아야 하고요.

이 글에서는 직선 y = x와 y = ax + b에 대하여 대칭이동했을 때 어떻게 바뀌는지 그리고 대칭이동한 결과를 어떻게 구하는지 알아볼 거예요. 직선 y = x에 대한 대칭이동은 앞서 했던 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동과 함께 외워두면 좋고, 직선 y = ax + b에 대하여 대칭이동은 결과를 구하는 과정을 알아두세요.

대칭이동 - 직선에 대하여 대칭이동

y = x에 대하여 대칭이동

좌표평면 위의 한 점을 직선 y = x에 대하여 대칭이동했을 때 어떻게 되는지 알아보죠.

점 P(x, y)를 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 점 P'(x', y')라고 해볼까요?

대칭이동하면 직선 y = x에서 점 P까지의 거리와 직선 y = x에서 점 P'까지의 거리가 같아요. 그러니까 점 P와 점 P'에서 같은 거리에 있는 점 바로 선분 PP'의 중점

또 선분 PP'와 직선 y = x는 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

y + y' = x + x' ……… ①
y - y' = -(x - x') ……… ②

이 두 식을 연립해서 풀어보죠.

① + ② : 2y = 2x' → x' = y
① - ② : 2y' = 2x → y' = x

점을 y = x에 대하여 대칭이동하면 x, y의 좌표가 서로 바뀌는 걸 알 수 있어요. P'(x', y') = P'(y, x)가 돼요.

점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 점의 대칭이동과 도형의 대칭이동은 같다고 했어요. 그러니까 도형의 대칭이동에서도 f(x, y) = 0을 y = x에 대하여 대칭이동하면 f(y, x) = 0이 돼요.

y = x에 대하여 대칭이동
x대신 y대입, y대신 x 대입
점 (x, y)를 y = x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (y, x)
도형의 방정식 f(x, y) = 0을 y = x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(y, x) = 0

다음을 구하여라.
(1) 점 (2, 3)을 y = x에 대하여 대칭이동한 점
(2) 2x + 3y + 4 = 0을 y = x에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식
(3) (x - 1)2 + y2 = 10을 y = x에 대하여 대칭이동한 원의 방정식

점과 도형을 y = x에 대하여 대칭이동하면 x → y, y → x로 바꿔주면 돼요.

(1) 번은 (2, 3)이니까 y = x에 대하여 대칭이동하면 (3, 2)가 되겠네요.

(2) 번은 2x + 3y + 4 = 0에서 x와 y를 서로 바꿔주면 2y + 3x + 4 = 0이니까 3x + 2y + 4 = 0이 되겠고요.

(3) 번 (x - 1)2 + y2 = 10에서 x, y를 바꿔주면 (y - 1)2 + x2 = 10이니까 x2 + (y - 1)2 = 10이 되겠네요.

y = ax + b에 대하여 대칭이동

이번에는 점 P(x, y)를 직선 y = ax + b에 대해서 대칭이동해보죠. 대칭이동한 점을 P'(x', y')라고 할게요.

방법은 위와 똑같아요.

• (점 P에서 직선 y = ax + b까지의 거리) = (점 P'에서 직선 y = ax + b까지의 거리)
  → 선분 PP'의 중점이 y = ax + b 위의 한 점
• (선분 PP'의 기울기) × (직선 y = ax + b의 기울기 a) = -1

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10을 y = 2x + 9에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라.

원의 방정식을 대칭이동했는데, 원의 방정식 위의 한 점을 대칭이동하는 것도 좋지만, 원의 중심을 이용하는 것도 방법이에요. 대칭이동을 하더라도 반지름의 길이 등 원의 성질은 바뀌지 않으니까요. 원의 중심의 좌표를 대칭이동해보죠.

원의 중심의 좌표를 점 C(-1, 2), 대칭이동한 원의 중심의 좌표를 점 C'(a, b)라고 놓으면

(점 C에서 직선 y = 2x + 9까지의 거리) = (점 C'에서 직선 y = 2x + 9까지의 거리)
→ 선분 CC'의 중점이 y = 2x + 9위의 한 점

중점

(선분 CC'의 기울기) × (직선 y = 2x + 9의 기울기 2) = -1

두 식을 연립해서 풀면 a = -5, b = 4네요. 대칭이동한 원의 방정식의 중심은 (-5, 4)가 되는군요.

(x + 1)2 + (y - 2)2 = 10을 y = 2x + 9에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 (x + 5)2 + (y - 4)2 = 10이 됩니다.

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직선에 대하여 대칭이동

• y = x에 대하여 대칭이동 x → y, y → x
• y = ax + b에 대하여 대칭이동
  • 처음 점과 대칭이동한 점의 중점이 y = ax + b 위의 점
  • 처음 점과 대칭이동한 점을 지나는 직선과 y = ax + b가 수직