5차방정식 해 구하기 - 5chabangjeongsig hae guhagi

Tay Cho

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Mar 21, 1998, 5:00:00 PM3/21/98

to

안녕하세요

첨 포스팅하면서 좀 무식한 질문을... ^^;

5차 이상의 방정식의 일반해가 없음을 직관적으로 설명해주실수 있나요?

이러이러한 field에서 이러이러한 중요 정리가 만족되므로 따라서 일반해가
존재할 수 없다... 식으로요... 뭐 정밀한 증명은 좀 길테니(왜냐문 제가
현대대수를 잘 모르걸랑요) 키 포인트가 되는 아이디어... 를 잘 설명해
주실수 있을지... 예를 들어 왜 4차까진 되고 5차부터 안되는지를 비교할 수
있을까여...

이런식의 차이(4차와 5차)는 대단히 흥미로운게 숫자 하나 차이로 엄청난
차이가 나타난다는게 직관적으로 잘 이해가 안됩니다. 통계쪽에서도 free
walk을 하면 1, 2차원에서는 다시 그점으로 돌아올 확률이 1인데 3차원부턴
1이 아니라는 얘기를 들은거 같은디...

--
Cho Taehee
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Aaram Yun

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Mar 22, 1998, 5:00:00 PM3/22/98

to

Tay Cho <> wrote:
: 안녕하세요

: 5차 이상의 방정식의 일반해가 없음을 직관적으로 설명해주실수 있나요?

: 이러이러한 field에서 이러이러한 중요 정리가 만족되므로 따라서 일반해가
: 존재할 수 없다... 식으로요... 뭐 정밀한 증명은 좀 길테니(왜냐문 제가
: 현대대수를 잘 모르걸랑요) 키 포인트가 되는 아이디어... 를 잘 설명해
: 주실수 있을지... 예를 들어 왜 4차까진 되고 5차부터 안되는지를 비교할 수
: 있을까여...

: 이런식의 차이(4차와 5차)는 대단히 흥미로운게 숫자 하나 차이로 엄청난
: 차이가 나타난다는게 직관적으로 잘 이해가 안됩니다. 통계쪽에서도 free
: walk을 하면 1, 2차원에서는 다시 그점으로 돌아올 확률이 1인데 3차원부턴
: 1이 아니라는 얘기를 들은거 같은디...

매우 어려운 질문이군요. :)
Galois theory를 쓰지 않고 어떻게 깔끔하게 증명하는 방법이 있으면 좋겠는데,
잘 모르겠네요.

Galois theory는 대충 말해 각각의 다항식에다가 어떤 유한군을 대응시킵니다.
그리고 일반적으로 그 다항식의 차수가 크면 클 수록 그 군의 크기도 커지는
경향이 있고요. 근의 공식이 존재하기 위한 *필요조건*이 그 대응된 군이
solvability라는 성질을 만족시킨다는 증명이 있습니다. 어떤 군이 solvable
하다는 것은 어떤 의미에서는 매우 막 말해서 그 군이 가환(commutative)이라는
것과 좀 비슷한 조건입니다. 가환인 군은 모두 solvable합니다. 하지만
solvable하다고 해서 가환은 아닙니다. 일반적으로, 유한군의 크기가 별로
크지 않으면 군의 구조가 간단하다보니 가환군이 나옵니다. 역시 solvable하다는
조건도 어떤 의미에서는 군이 간단하게 생겼다는 뜻이어서, 크기가 작은 군은
모두 solvable합니다. 그러다 보니, 4차 이하의 다항식에 대응되는 군들은 죄다
solvable합니다. 다항식이 5차는 되어야 대응되는 군이 solvability를 만족하지
않을 여지가 있습니다.

물론 대응되는 군이 solvable하다는 것은 근의 공식이 존재하기 위한 필요조건일
뿐입니다. 그러나 4차까지는 직접 근의 공식을 유도할 수 있었으므로 어찌
되었건 간에 근의 공식이 있는 것입니다.

그래서 5차의 다항식의 근의 공식을 찾을 수 없다는 것을 보이는 증명은, 일단
Galois theory를 약간 쌓아나가서 각각의 다항식에 Galois group을 대응하는
것까지 증명한 뒤, solvability가 근의 공식의 존재의 필요조건임을 보이고
난 뒤(아마도 solvable이라는 말 자체가 이 역사적인 기원을 가질 겁니다) 정말로
구체적인 5차 다항식을 하나 갖다놓고 그 다항식의 Galois group을 계산하고
나서 그 군이 solvable 하지 않다는 것을 보이는 방법으로 이루어집니다.

그러한 5차 다항식의 예는 매우 많이 있겠습니다만 예를 하나 들자면,
(뒤적 뒤적),
x^5-4x+2를 들 수 있겠습니다.

그다지 좋은 설명인 것 같지 않아서 죄송하군요.

Tay Cho

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Mar 23, 1998, 5:00:00 PM3/23/98

to

흐어억 감사 감사 :)

역시 예상대로 간단치 않군요...

뭐 책보고 공부하란 소리 안하신것만해도... 눈물이 앞을가려~

음.. 근데 잘 모르겠는 부분을 좀 적어볼께요... ^^; (으흐흐 걸렸다)

1. 전 '일반'해가 없다는 말을 전체 5차식의 해법이 없다는 것으로 지레 짐작했는데
특정 5차 식('X^5-4X+2')에 대해 해가 없다는 것을 증명하게 되는 건가요? ... 으음
그러고 보니 각각의 모든 5차식에 대해 해가 있으면 일반해를 쓸 수 있겠군요.. 뭐
패턴별로 정리하면 될테니까.. .. 으음 이말이 말이 되나요?

2. X^5-4X+2이 unsolvable하다는 것은 (solvable하지 않으면 unsolvable이라고
하나요?) 이 식의 해가 유리수같은것에 사칙연산과 제곱근 등을 가지고 표현할 수
없다는 말인가요?

3. 만일 2번이 참이라면 모든 실수는 초월수와 초월수가 아닌것으로 나눌 수 있는
것처럼 solvable과 unsolvable로 나눌 수 있나요?

이거 어째 좀 이상하긴한데... (써놓고 보니 헛소리같구면...) 일단 부탁합니다.

Aaram Yun

unread,

Mar 23, 1998, 5:00:00 PM3/23/98

to

Tay Cho <> wrote:
: 1. 전 '일반'해가 없다는 말을 전체 5차식의 해법이 없다는 것으로 지레 짐작했는데

: 특정 5차 식('X^5-4X+2')에 대해 해가 없다는 것을 증명하게 되는 건가요? ... 으음
: 그러고 보니 각각의 모든 5차식에 대해 해가 있으면 일반해를 쓸 수 있겠군요.. 뭐
: 패턴별로 정리하면 될테니까.. .. 으음 이말이 말이 되나요?

: 2. X^5-4X+2이 unsolvable하다는 것은 (solvable하지 않으면 unsolvable이라고
: 하나요?) 이 식의 해가 유리수같은것에 사칙연산과 제곱근 등을 가지고 표현할 수
: 없다는 말인가요?

해법이 없다는 것은 근의 공식이 없다는 의미입니다. 근의 공식이 있다면
모든 5차 다항식의 해는 유리수의 사칙연산에 거듭제곱근 등을 가지고
표현하는 것이 가능합니다. 그러므로 그것이 한 필요조건입니다.

하지만, 각각의 해를 유리수의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현할 수 있다는
것을 증명하는 것은 근의 공식을 증명하는 것과 다릅니다. 근의 공식이
존재한다는 것은 더 강한 조건이죠. 각각의 해가 그렇게 표현될 뿐만 아니라
그 표현 방식이 다항식들마다 근본적으로 동일해서 계수들만 집어넣고 나면
구할 수 있다는 얘기니까요. 어차피 불가능함을 증명하는 것이 목표라면
더 약한 조건조차 불가능하다라는 것을 보이는 것으로 충분합니다.

(어떤 말씀인지는 이해했습니다만 증명된 것은 전체 5차식의 해법이 없다는
것이므로 지레짐작하신 것이 옳습니다. 그리고 특정 식에 대해 해가 없다는
것을 증명했던 것도 맞고요.)

그리고 노파심에 부연하자면 x^5-4X+2의 해는 있습니다! 그 해를 유리수의
사칙연산과 거듭제곱근으로 쓸 수 없어서 그렇지... 홀수 차수 실계수
다항식이므로 실수 해가 일단 최소한 하나 있는 것은 분명합니다. 실제로
계산을 해 보면 실수 해가 3개가 있고 한 쌍의 실수가 아닌 복소수해가 더
있습니다. 실수 해가 3개가 있다는 증명은 매우 쉽습니다:

f(x)=x^5-4x+2라고 하면

f(-2)=-22, f(-1)=5, f(1)=-1, f(2)=26

부호가 -,+,-,+로 바뀌었으므로, -2와 -1 사이에, -1과 1 사이에, 1과 2 사이에
(최소한) 하나씩의 해가 있습니다. 나머지 두 개의 해는 실수가 아니므로 이렇게
찾을 수는 없겠지요.

: 3. 만일 2번이 참이라면 모든 실수는 초월수와 초월수가 아닌것으로 나눌 수 있는

: 것처럼 solvable과 unsolvable로 나눌 수 있나요?

물론 그렇습니다. 임의의 명제 함수 P(x)에 대해 그 명제함수에 집어넣어서
말이 되는 모든 대상들은 P(x)를 만족하거나 아니면 not P(x)를 만족하는
두 경우로 나눌 수 있습니다.

정의야 하기 나름이지만 실수에 대해서 그것을 solvability라고 부르지는 않는
것으로 알고 있습니다. 실수는 푸는 것이 아니니까요. group도 별로 푸는 것은
아닌 것 같음에도 불구하고 solvable group을 정의하기는 합니다만.

('solvable'하다는 것을 유리수에 유한회의 사칙 연산과 거듭제곱근을 써서
나타낼 수 있는 수라고 정의하시고 싶었던 것이 맞죠? )

Tay Cho

unread,

Mar 23, 1998, 5:00:00 PM3/23/98

to

음... 좀 감이 잡히네요... :-)

즉 4차 이하는.. 일단 할아버지들이 맨든 식이 있으니까 당연히 되는거고...

5차이상은.. 예를 들어 5차는
특정한 어떤 유리방정식(X^5-4X+2)의 해는 실수가 있긴 있지만 유리수에다가 유한회의
사칙연산과 제곱근 등의 연산을 가지고 나타낼 수가 없으므로 당연빳다 일반해로 표현하는
것이 불가능하다.... 이런 요지로군요...

즉 유리수에다가 사칙 연산과 제곱근으로 나타낼 수 있는 집합을 S라고 하면 5차 이상의
해집합에는 S에 안들어가는게 있단 얘기겠고...
(computable set이라고 부르면 좋을거 같단 생각이 얼핏... ^.^ )
정의가 없는 것으로 보아 별로 수학적으로 가치는 없나부죠?

여튼 친절한 답변 감사합니다.

그럼 20000