베르누이 방정식은 1783년 다니엘 베르누이의 주요 저서 "Hydrodynamics"에서 흐르는 유체의 속도와 압력, 높이의 관계를 수식적으로 나타낸 식입니다. 1783년에 발표된 이론이라는 것만 보아도 유체역학의 역사를 확인해 볼 수 있는 대목이기도 합니다. 베르누이 방정식은 유체역학에서 가장 중요한 방정식으로 꼽히며, 기계공학 전공 출신이라면 면접에서도 자주 등장하는 단골 질문 중에 하나입니다. 베르누이 방정식을 적용하기 위해서는 다음과 같은 가정이 있어야 합니다.
베르누이 방정식은 흐르는 유체에 대해 유선 (straam) 상에서 모든 형태의 에너지 합은 일정하다는 것입니다. 그림 1을 보면 1번 구간과 2번 구간이 존재합니다. 1번 구간에서 2번 구간으로 이동할 때 에너지가 변할 수 있는 것들을 살펴보겠습니다. 1. 힘이 하는 일 2. 운동에너지 3. 위치에너지
 그림. 1 베르누이 방정식 3가지를 수식으로 정리해보겠습니다. 힘과 거리의 곱은 일입니다. 그리고 운동에너지와 위치에너지를 합하면 식 1과 같이 표현할 수 있습니다.
식. 1 이제 식 1을 부피로 나누도록 하겠습니다. (부피/거리)는 면적이 됩니다. 그리고 (질량/부피)는 밀도가 되어 식 2와 같이 정리할 수 있습니다.
식. 2 (힘/면적)은 압력이므로 최종적으로 식 3과 같이 정리할 수 있습니다.
식. 3
식. 4
그림. 2 좁은 관에서의 베르누이 효과 그림 2는 1번 지점에서 2번 지점으로 갈수록 좁아지는 파이프입니다. 유체 연속 방정식에 의해 파이프가 좁을수록 유체의 속도가 더 빨라집니다. 그리고 1번 지점과 2번 지점의 높이가 같기 때문에 베르누이 방정식에서 위치 에너지 항은 무시할 수 있습니다.
연속 방정식에 의해 v1 < v2 입니다. 그리고 베르누이 방정식에 의해 P1 > P2가 되는 것을 알 수 있습니다. 즉, 유체의 속도가 빠를수록 압력이 낮아지는 것입니다. 비행기가 양력에 의해서 뜨는 원리 역시 베르누이 방정식으로 설명이 가능합니다.
비행기의 날개를 옆에서 바라보면 아래 그림과 같이 위쪽이 더 볼록하게 생겼습니다. 연속 방정식과 마찬가지로 볼록한 부분이 마치 좁은 관을 통과하는 것과 같은 효과를 보여 볼록한 부분의 공기는 빠르게 흐르고 날개의 아랫면은 공기가 상대적으로 천천히 흐릅니다. 베르누이 방정식에 의해 공기의 흐름이 빠른 곳은 압력이 낮아지고 공기의 흐름이 느린 곳은 압력이 높아집니다. 이렇게 압력 차이가 발생하여 비행기가 이륙할 수 있습니다.
아래 그림은 공기주머니를 눌러서 액체를 분사하는 분무기입니다. 공기주머니를 누르면 관으로 공기가 빠르게 지나가면서 베르누이 원리에 의해 압력이 낮아지게 됩니다. 압력이 낮아지면 액체가 용기에서 올라와 분사 됩니다.
※본 포스팅내용에 대한 오류, 정정댓글은 언제나 환영입니다. ※본 포스팅은 항공정비기능사 필기공부를 위한 분들을 위해 쉽게 풀어쓴 글로 경우에따라 생략된 내용, 다소 부적절한 내용이 있을 수 있습니다. 목차 1. 연속의 법칙 2. 베르누이 정리 3. 기출로 보는 연습문제 연속의 법칙은 어느 관속에서 정상흐름을 가진 유체가 일정한 시간동안 흐르는 유량은 일정하다는 것입니다.
위 그림처럼 어떤 관속에 유체가 흐를때 넓은 관에서 t = 1 동안 유체가 이동한 거리와 좁은 관에서 t = 1 동안 유체가 이동한 거리는 위 그림처럼 원통모양으로 표현이 가능합니다.
t=1 만큼 넓은관에서 유체가 이동한 질량 m 은 t=1 만큼 좁은관에서 유체가 이동한 질량 m' 과 같습니다 (질량 보존의 법칙) 따라서 m = m' 의 식이 성립이 됩니다. 질량 = 밀도 x 부피 식을 이용하면 m = ρV = m' = ρ' V' 가 성립합니다. 여기서 다시 부피 = 단면적 x 높이가 됩니다.
그림처럼 유체가 넓은 관에서는 h 만큼, 좁은 관에서는 h' 만큼 진행했다고 가정하겠습니다. 또한 넓은 관의 단면적을 A, 좁은 관의 단면적을 A' 라 하겠습니다. 부피 = 단면적 x 높이 식을 이용합니다. V = h x A V' = h' x A' 위 2개 식을 아까구한 m = ρV = m' = ρ' V' 식에 대입하면 ρ x h x A = ρ' x h' x A' 가 됩니다. 여기서 h2 , h2는 거리 = 속력 x 시간 식을 이용하여 ρ x v x t x A = ρ' x v' x t' x A' 식이 나옵니다. 구하고자 하는것은 일정시간동안 흐르는 유량이므로 t = t' 로 소거가 되어 최종적으로 ρ x v x A = ρ' x v' x A'가 됩니다. 위 식은 압축성 유체일때만 해당이 되며 유체가 비압축성 유체라면 밀도값이 생략되므로 v x A = v' x A'가 됩니다. 위 식을 통해 알 수 있는것은 관의 면적이 좁으면 좁을수록 흐름속도는 증가하며 관의 면적이 넓으면 넓을수록 흐름속도는 감소한다는 것입니다. 연속의 법칙에서는 관의 면적과 흐름속도, 밀도간의 관계에 대해 증명했다면 베르누이 법칙에서는 흐름속도와 유체의 압력의 관계까지 증명이 가능해집니다. 베르누이 법칙은 정압과 동압의 합이 항상 일정하다는 것입니다. 정압은 고요할 정 , 누를 압 으로 유체가 정지해 있을때의 압력을 말하며 동압은 움직일 동 , 누를 압 으로 유체가 움질일때의 압력을 말합니다. 우선, 압력에 대해 알아봅시다. 압력은 단위면적에 작용하는 힘으로 나타낼 수 있습니다. 식으로 나타내면 (P = 압력 , F = 힘 , A = 단면적) 이 됩니다. 여기서 힘은 다시 (F = 힘 , m = 질량 , a = 가속도) 로 나타낼 수 있습니다. 즉, 질량이 클수록 압력이 커진다고 할 수 있습니다. 또 질량은 밀도와 부피로 나타내어 지므로 밀도가 클수록 압력이 커진다고 할 수 있습니다. 또한 힘이 작용하는 단면적이 작을수록 압력이 커집니다. (단면적이 넓을수록 단면적에 해당하는 힘이 상쇄) 정압은 유체가 가만히 있을때의 압력입니다 정압은 고도와 밀도에 따라 달라지게 됩니다. 그 이유는 간단히 말씀드리면 고도가 상승한 만큼 위치에너지가 증가함에 따라 압력이 위치에너지만큼 감소한다고 할 수 있습니다.
위 그림을 예로들어 설명드리자면 P = P'(h' - h)로 표현이 됩니다. 또한 위치에너지 u = mgh로 표현이 되는데 질량보존의 법칙에 따라 u = ρgh로 표현을 합니다. 즉, 정압은 P + ρgh 가 됩니다. 동압은 유체가 흐를때의 압력입니다. 동압은 속도와 밀도에 따라 달라지게 됩니다. 동압은 운동에너지의 변화량만큼 변하게 됩니다. (K = 운동에너지 , m = 질량 , v = 속도) 정압과 마찬가지로 질량보존 법칙에 의해 (ρ = 밀도) 위식으로 변하게 됩니다. 정압은 위치에너지, 동압은 운동에너지와 관계가 있습니다. 따라서 베르누이 법칙에서 정압과 동압의 합이 일정하기 때문에 (위치에너지와 운동에너지의 합은 일정)
가 됩니다. 이러한 현상을 이용해 만든것이 피토관(Pitot tube)입니다.
피토관은 비행중 비행기의 속도를 측정해주는 기구입니다.
피토관 앞으로 공기가 불어 들어오면 공기가 동압관으로 들어오게 됩니다. 그리고 동압관 옆에는 정압관으로 대기의 기압을 나타내게 됩니다.
여기서 동압관과 정압관이 만나는 곳의 압력은 전압(Pt)이라 하며 (電圧이 아닌 全圧입니다) 전압에서 정압(Ps)를 빼면 동압(Pd)이 나오게 되는데 이때 나오는 동압으로 항공기의 속도를 계산 할 수 있게 됩니다. 그리고 베르누이 법칙은 이상기체에서만 적용이 되며 또한 비압축성 유체에서, 그리고 정상흐름에서만 적용이 됩니다. 종이에 답을 적고 맨밑에 있는 정답을 확인해보세요!
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항공기관정비기능사 2016년도 1회 정답 - 3 1 2 2 3 3 2 4 4 4 1 2 1 1 |
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