접선의 기울기 미분 - jeobseon-ui giulgi mibun

접선

* 문제풀이 도움 *

문제에서 사용된 미분 공식 

미분 법칙, 지수, 로그함수 미분 : https://dimrim.tistory.com/12

삼각함수 등의 미분 : https://dimrim.tistory.com/13

접선에 관한 기본 설명 : https://dimrim.tistory.com/21

1) 곡선의 아래 주어진 점에서의 접선의 기울기를 구해보자.

 일반함수의 곱으로 되어있는 함수의 접선의 기울기를 구하는 문제이다.

 함수끼리 곱으로 되어있으므로, 미분 공식의 곱 법칙을 이용하여 미분을 한다.

 앞의 함수를 미분하여 뒤의 함수를 곱하고, 뒤의 함수를 미분하여 앞의 함수를 곱하여 더하면 위와 같은 결과가 나온다. 우리가 구하고자하는 것은 점 (1 , 0)에서의 접선의 기울기 이므로 f '(1)의 값을 구한다.

따라서 f(x)의 점(1 , 0)에서의 접선의 기울기는 3이다.

 일반함수의 거듭제곱 함수의 접선의 기울기를 구하는 문제이다.

 거듭제곱 안의 일반함수를 하나의 함수로 여겨, 미분 공식의 연쇄법칙을 이용하여 미분을 한다.

 거듭제곱 함수를 미분 후 거듭제곱한 일반함수를 미분하여 곱해주면 위와같은 결과가 나온다. 우리가 구하고자 하는 것은 점(0 , 1)에서의 접선의 기울기 이므로 f '(0)의 값을 구한다.

따라서, f(x)의 점(0 , 1)에서의 접선의 기울기는 15 이다.

 삼각함수가 포함된 함수의 3 제곱근 함수의 접선의 기울기를 구하는 문제이다. 

 3제곱근 안의 함수를 하나의 함수로 여겨, 미분 공식의 연쇄법칙을 이용하여 미분을 한다.

 제곱근이 된 함수를 미분할 때 위와 같이 거듭제곱 꼴로 변형하여 미분하면 쉽게 미분 할 수 있다.

 거듭제곱 꼴로 바꾼 3제곱근의 함수를 미분 후 3제곱근 안의 함수를 미분하여 곱해주면 위와 같은 결과가 나온다. 우리가 구하고자 하는 것은 점(0 , 1)에서의 접선의 기울기 이므로 f '(0)의 값을 구한다.

따라서, f(x)의 점(0 , 1)에서의 접선의 기울기는 1/3 이다.

 지수함수의 분수형태로 된 함수의 접선의 기울기를 구하는 문제이다.

 지수함수가 분수로 되어 있으므로, 미분 공식의 몫 법칙을 사용하여 미분을 한다.

 e^(-x)형태의 지수함수를 미분하면 -e^(-x) 이다. 이는 1/e^x 형태의 분수꼴로 바꾸어 몫 법칙을 적용시켜 풀면 알 수 있다.

 분모의 제곱 분에 분자의 미분 곱하기 분모한 값과 분모의 미분 곱하기 분자한 값을 빼면 위와 같은 결과가 나온다. 우리가 구하고자 하는 것은 점(0 , 0)에서의 접선의 기울기 이므로 f '(0)의 값을 구한다. 

따라서, f(x)의 점(0 , 0)에서의 접선의 기울기는 1 이다.

 삼각함수의 합성함수로 된 함수의 접선의 기울기를 구하는 문제이다.

 합성함수로 되어 있으므로, 미분 공식의 연쇄법칙을 사용하여 미분을 한다.

 합성함수를 위와 같이 u1과 u2로 정의한다.

 u1과 u2를 f(x)에 대입하면 위와 같다.

 f(x), u1, u2 함수를 차례대로 미분하면 위와 같은 결과가 나온다.

 미분한 값을 정리하면 다음과 같다.

 우리가 구하고자 하는 것은 점(0 , 0)에서의 접선의 기울기 이므로 f '(0)의 값을 구한다. 

따라서, f(x)의 점(0 , 0)에서의 접선의 기울기는 1 이다.

2) 접선의 방정식

 위 공식은 접선의 방정식을 구하는 공식이다. m 은 접선의 기울기이다.

(1) x=2 에서의 접선의 기울기를 구해보자.

 거듭제곱 함수를 미분하면 위와 같은 함수를 얻을 수 있다.

 x=2 에서의 접선의 기울기는 f '(2)이다.

따라서, 접선의 기울기는 -3 이다.

(2) x=2에서의 접선의 방정식을 구해보자.

 f(x)의 x=2에서의 값을 구하면 f(x)는 점(2 , -2)를 지나는 것을 알 수 있다.

 접선의 방정식 공식에 대입한 후 정리하면 접선의 방정식을 구할 수 있다.

(1) x=1 에서의 접선의 기울기를 구해보자.

 지수함수와 거듭제곱 함수의 분수 꼴을 몫 법칙을 이용하여 미분하면 위와 같은 함수를 얻을 수 있다.

 x=1에서의 접선의 기울기는 f '(1) 이다.

따라서, 접선의 기울기는 -e 이다.

(2) x=1에서의 접선의 방정식을 구해보자.

 f(x)의 x=1에서의 값을 구하면 f(x)는 점(1 , e)를 지나는 것을 알 수 있다.

 접선의 방정식 공식에 대입한 후 정리하면 접선의 방정식을 구할 수 있다.

(1) x=π/2 에서의 접선의 기울기를 구해보자.

 삼각함수와 로그함수의 합성함수 이므로 연쇄법칙을 이용하여 미분한다. 위와 같이 함수를 간단화 시켜서 미분하는 연습을 하면 문제를 빨리 푸는 데 도음이 된다.

 연쇄법칙을 이용하여 미분한 후,

 정리하면, 위와 같은 함수를 얻을 수 있다.

 x=π/2에서의 접선의 기울기는 f '(π/2) 이다.

따라서, 접선의 기울기는 0 이다.

(2) x=π/2에서의 접선의 방정식을 구해보자.

 f(x)의 x=π/2에서의 값을 구하면 f(x)는 점(π/2 , 0)를 지나는 것을 알 수 있다.

 접선의 방정식 공식에 대입한 후 정리하면 접선의 방정식을 구할 수 있다.

 , y=a 인 접선의 방정식은 수평접선이라고도 한다.

3) 응용문제

  1. x=2 에서 곡선 y=f(x)의 접선의 방정식이 일 때, f(2), f '(2)를 구해보자.

(1) f(2) 구하기

x=2 에서의 f(2)를 구하려면 접선의 방정식 공식에 대입하여 전개한 후 정리한다.

 정리를 하면 위와 같은데 상수의 값이 문제에서 주어진 접선의 방정식의 상수 값과 같아야 하므로 다음이 성립한다.

따라서, f(2)=2 이다.

(2) f '(2) 구하기

 f '(2)는 점(2 , 2) 에서의 접선의 기울기 이므로 문제에서 주어진 곡선의 x 의 차수와 같다.

따라서, 이다.

  2. 곡선 의 직선 와 평행한 접선의 방정식을 구해보자.

라고 하자

 곡선을 미분하여 f '(x)값을 구한다.

 곡선의 접선의 기울기는 문제에서 주어진 직선의 기울기와 같으므로, 다음과 같은 식이 성립한다.

 제곱근의 해를 구하기 위해 양변에 제곱을 취하여 a 의 값을 구한다.

 a의 값이 4 이므로, f(4)의 값도 구할 수 있다. 곡선위의 점(4 , 8)에서의 접선의 방정식을 구하면 한다.

 곡선의 방정식 공식에 대입하면 위와 같다.

따라서, 직선과 평행한 곡선의 접선의 방정식은 이다.

모두 같이 공부 열심히 해봅시다.