무한대 빼기 무한대 - muhandae ppaegi muhandae

n이 무한대로 커지면 1/n은 0이 되죠? 바로 이런 꼴로 만들어주면서 n과 불필요한 부분들을 없애주는 겁니다. 자 예제를 하나씩 풀면서 보도록 하죠. 

이식을 보죠. 이 식은 우선 분자 분모 수열의 극한값을 각각 따져보면 위아래 모두 무한대로 갑니다. 

이걸보고 1이라고 할 수 없다고 했죠. 

그래서 다시 원점으로 돌아와서 위 아래 모두 1/n으로 곱합니다. 그러면 이렇게 되고 여기서 n이 무한대로 가면 1/n은 0이 되면서 남는 것은 1/3이 됩니다. 이게 이 수열의 극한값이 되는 거죠. 

이렇게 1/n을 곱해서 무한대 나누기 무한대 꼴을 수렴하는 수열의 나누기 꼴로 바꿨습니다.  

다른 문제를 봅시다. 

이 식도 분자 분모의 극한값을 각각 따져보면 oo/oo꼴이죠? 

그래서 원래식으로 돌아와 이번에도 1/n으로 곱해주겠습니다. 그러면 

이렇게 (Lim (1+2/n) / (n+1/n))되는 거죠. 여기서 n이 무한대로 가면 2/n, 1/n은  0으로 가니까. 

이 식은 1/n만 남네요 되네요. 여기서 n이 무한대로 가면 이건 어떤게 되나요? 0이 되겠죠? 

이번에는 무한대 나누기 무한대 꼴을 상수를 발산하는 수열로 나눈 꼴로 바꾼 거죠? 

자 다른 문제입니다. 

이 식의 의 극한값을 구해봅시다. 이것 역시 위 아래를 각각 극한값을 구하면 위 아래 모두 무한대로 갑니다. 그래서 각각 위 아래 1/n을 곱해보면 이렇게 되고, (n^2 + 2n - 4/n / 2n + 1/n) 여기서 n이 무한대로 간다면 n^2+2n / 2n 이 남네요. 여전히 위 아래 무한대로 가죠. 그래서 다시 한 번 위 아래를 1/n으로 곱해보겠습니다. 

그러면 n + 2 / 2 가 되죠. 이제는 어떤가요? 무한대 나누기 상수 꼴이 되었죠? 이 결과는 oo죠? 

자 우리는 여기서 1/n을 한번 곱했다가 안 되서 또 1/n을 곱했지만 처음부터 1/n^2을 곱했더라면 좋았겠죠? 그래서 교과서에서는 분모의 n을 먼저 없앨 수 있도록 분모의 최고차항으로 나누라고 하는 겁니다. 무슨 공식처럼 얘기하는데 실은 굳이 외우지 않아도 되는 거죠. 

조금 더 눈치가 빠른 학생들은 oo/oo 꼴은 계산을 굳이 하지 않아도 극한값을 구할 수 있다는 걸 알았을 겁니다. 바로 분자 분모의 최고차항에 따라 모든 게 결정난다는 것을 알 수 있습니다. 

즉 분자의 차수가 분모의 차수보다 높으면 극한값이 oo로 발산하고, 

반대면 0으로 수렴하고, 차수가 같으면 최고차항의 계수만 남겨놓으면 되는 거죠. 

이번에는 oo-oo꼴의 극한값을 따져보겠습니다. 이 식을 봅시다. 

이건 이렇게 놓고 각각 무한대로 보내보면 oo-oo꼴입니다. 이건 섣불리 0이라고 할 수 없다고 했죠. 

그래서 안에다 1/n^2를 곱해보죠. 난데 없이 1/n^2를 곱하면 안되니까. 밖에다가는 n^2를 곱해놓겠습니다. 

사실 이렇게 보면 최고차항을 밖으로 뽑아낸 것과 같네요. 

여기서 n이 무한대로 가면 어떻게 되나요? 

괄호 안의 3/n, 2/n^2는 0이 되고 남는 것은 1이죠. 이건 무한대 곱하기 수렴하는 수열의 꼴입니다. 

뭐가 되나요? Oo 대가 되는 거죠. 

이번에는 이런 식을 풀어보겠습니다. 무리식이죠. 

이 식도 루트가 있지만 Oo-oo이죠? 이번에도 안에 1/n이 들어가게 1/root n을 곱해볼까요? 

물론 밖에는 root n을 곱해줘야죠. 그러면 이 식은 이런 (Root n ( root (1+1/n) - root 1) = oo x 0)꼴이 됩니다. 

무한대 곱하기 0. 이건 어떻게 될까요? 이건 0일까요? 아닙니다. 

이때 중요한 것은 뒤에 곱하는 수를 0이라고 써놨지만 딱 떨어지는 상수 0이 아니라,

1/n이 0으로 가면서 생긴, 무한대처럼 0으로 계속 작아지는 상태를 말하는 겁니다.  

그림으로 치면 이렇습니다. 

하나는 무한히 커지고 있고, 거기에 무한히 작아지는 수를 곱하는 거죠. 

사실 누가 얼마나 빨리 커지는지 작아지는지에 따라 이 곱하기의 결과는 달라지게 되는 거죠. 

이런 꼴은 처음본다고요? 네 그렇긴 한데요. 

우린 비슷한 꼴을 보긴 했습니다. 바로 oo/oo꼴이죠? 

이것도 곱하기로 치면 oo x 1/oo 이고 여기서 1/oo가 0이 되는 거잖아요. 

즉 oo/oo은 oox0과 같은 셈입니다. 똑같이 그 결과를 알 수 없는 거죠. 

그럼 다시 원래 식으로 돌아가서 이 식은 어떻게 풀면 좋을까요? 그 방법은 유리화를 시켜주는 겁니다. 

이 식에 가운데 부호만 바꾼 걸 곱해주고 

느닷없이 곱해주면 안되니까 똑같은 걸 나눠주는 겁니다.  

그러면 이 식은 이렇게 될 겁니다. 

이제 상수 나누기 무한대  꼴이 되었네요. 그래서 당연히 0으로 갑니다. 

이런 이유로 무리식이 있는 경우에는 유리화를 한다고 교과서에서 공식처럼 얘기하는 겁니다. 

마치기 전에 이 극한값 표를 이용하는 문제를 두 가지 더 풀어보겠습니다. 

이게 참일까요? 거짓일까요? 

bn-an의 극한값이 0으로 수렴을 했다는 얘기는 각각을 수렴시킨 limbn - liman도 0이라는 얘기고 그러니 둘은 같은 수로 수렴을 한다는 얘기죠. 그 수를 알파라고 한다면, 

An과 bn 사이에 끼어있는 cn 역시 같은 수 알파로 수렴을 하겠죠? 

그러나 항상 그런 것은 아닙니다. 극한값표를 보면서 설명하겠습니다. 

이 표에서 수열과 수열의 빼기 형식은  모두 세 가지죠. 수렴하는 수열끼리의 빼기,  발산하는 수열과 수렴하는 수열의 빼기, 그리고 발산하는 수열끼리의 빼기. 

이 중에서 극한값이 0이 나올 수 있는 것은 뭘까요? 발산하는 수열과 수렴하는 수열의 빼기는 무한대로의 발산이 나오기 때문에 아닙니다. 

빼기가 0이 나올 수 있는 경우의 후보는 이 두 가지입니다. 수렴하는 수열끼리의 빼기가 0이 나올 수 있고, 발산하는 수열 끼리의 빼기도 경우에 따라서는, 매번 그런 것은 아니지만 0이 되기도 합니다. 아까 우리는 그런 문제를 다뤘죠. 

여기서 우리는 알 수 있죠. 빼기의 극한값이 0이 나왔다고 해서 꼭 an과 bn이 각각 수렴을 한다고 할 수 없다는 거구나. 따라서 cn도 수렴한다고 말 할 수 없는 거구나. 

이 문제에서 루트 n+1과 루트 n을 각각 bn과 an이라고 합시다. An<bn 이죠. 여기에 cn을 루트 n+1/2라고 하면 an<cn<bn이 되죠. 그러나 이때 cn은 역시 무한대로 발산하죠. 따라서 항상  cn이 수렴하는 것은 아니니, 이 말은 거짓입니다. 

하나만 더 보겠습니다. 

자, 이건 맞는 말일까요? 틀린 말일까요? 

우선 an^2이라는 것은 an을 두번 곱한 거고, 각각의 수열을 따로 극한값을 구한게 알파의 제곱이라는 거죠.

표에서 곱하기 꼴은 세 가지죠. 그 중에서 발산하는 수열이 들어가면 그 곱이 무한대로의 발산이 되니까, 특정한 값이 나올 수 있는 것은 수렴하는 수열과 수렴하는 수열의 곱입니다. 그렇다면 an과 bn은 수렴하는 수열이라는 얘기네요. 

그러나 우리가 이 표를 다룰 때 잊지 말아야 할 것이 있습니다. 바로 표에 포함되지 않은 이 아래 ‘진동’입니다. 여러분 마음 속에 진동의 대표적인 경우 하나를 마련해 놓으세요. 이런 거 말이죠. an이 이렇다고 해봅시다. 

그러면 an곱하기 an은 항상 1이 됩니다. 그래서 여기서 극한을 구해도 항상 1^2이 되는 거죠. 그러나 an 자체는 수렴을 하지 않습니다. 진동이죠. 이런 예가 있기 때문에 이 문장은 틀린 말입니다. 

오늘은 좀 길었네요. 

오늘은 oo/oo oo-oo의 극한값을 구하는 문제와 함께 나머지 극한값표를 활용한 문제풀이를 해봤습니다. 정리하자면  다른 극한값을 알기 쉬운 형태로 고치기 위해서 보통은 1/n을 사용하면 되는데, oo/oo꼴은 분자, 분모 최고차항의 차수를 비교하고, oo-oo이 무리식으로 되어 있는 경우에는 유리화시키면 됩니다.