RL 직렬 회로 과도현상 - RL jiglyeol hoelo gwadohyeonsang

(1) DC 직렬 회로 - R-L, R-C 직렬 회로

① DC 에서의 R-L 직렬 회로

② DC 에서의 R-C 직렬 회로

(2) R-L 직렬 회로의 과도 현상

① 미분 방정식

② 라플라스 변환

③ 특징

④ R-L 직렬 회로의 기전력 인가·방전

(3) R-C 직렬 회로의 과도 현상
① R-C 직렬 회로

② R-C 직렬 기전력 제거

(4) R-L-C 2차 지연 (R-L, R-C : 1차 지연)

※ 안정 상태

(5) L-C 직렬 회로

1. RL 직렬회로의과도현상의 해결법

RL 직렬 회로에 흐르는 전류의 일반 해를 구하는 방법

다음 그림과 같이 직류 전원 E [V]에 저항 R [Ω]과 코일 L [H]이 직렬로 연결된 RL 직렬회로 에서

회로에 흐르는 전류의 일반 해를 구해 봅시다.

여기에서 일반 해(解)를 구 한다는 것은 정상 상태의 영역을 나타내는 고정해 와 과도 상태 영역을

나타내는 과도해(過渡解)을 합친 것 (식)을 구하는 것으로,

「일반 해를 구함 = 회로의 과도 현상해석」 과

거의 같은 의미라고 생각 두면 좋을 것입니다.

그리고, 회로의 과도 현상을 해결하는 기본적인 순서는 다음과 같이 됩니다.

회로의 과도 현상을 해결하는 기본적인 단계

1. 대상 회로의 회로 방정식 (미분과 적분이 포함 된)을 세우기
   ② 초기 조건을 고려하여 ①의 미분 방정식 (또는 적분 방정식)을 풀기

라고 간단히 말하고 있지만 위에 언급 한 해결 절차

②의 「미분 방정식 (또는 적분 방정식)을 푼다는 것을」 힘 들어 하기도합니다.

그러면 RL 직렬 회로 (LR 직렬 회로)에 흐르는 전류의 일반 해를 구하여 봅시다.

먼저 회로의 회로 방정식을 세웁니다.

이 회로에 흐르는 전류를 i (t) [A] 라고 하면

키르히 호프의 제 2 법칙 (전압 법칙)을 적용하면 회로 방정식은

다음의 ① 식 (미분 방정식)과 같이 주어집니다.

회로 방정식을 세울 수 있으므로

나머지는 ① 식의 미분 방정식을 해결 하면 됩니다.

미분 방정식은 방정식의 형태로 다양한 해결법이 있고 라플라스 변환을 사용하여 풀 수도

있지만, 여기에서는 미분 방정식의 해법 중 하나 인 변수 분리법을 사용하여 풀어 보기로 합니다.

(이 형태의 미분 방정식을 푸는 경우, 변수 분리법이 가장 쉽다고 생각합니다.)

변수 분리법은 이름 그대로 변수를 왼쪽과 오른쪽으로 분리하여 풀어가는 방법으로

① 식을 보면 전원 전압 E, 저항 R 코일의 인덕턴스 L은 정수이므로

여기서 변수는 전류 i (t)와 시간 t입니다.

그래서, 전류 i (t) (변수)에 관한 것은 왼쪽에, 시간 t에 관한 것은 오른쪽이 되도록

① 식을 변형 합니다.

계산을 쉽게 하기 위해, 좀 더 변형 합니다.

이제 왼쪽은 전류 i (t) (변수)에 관한 것, 오른쪽은 시간 t (변수)에 관한 것이며,

두 변수를 왼쪽과 오른쪽으로 분리 할 수​​있었습니다.

(정수는 변수가 없기 때문에 왼쪽에 있거나 오른쪽에 있어도 괜찮습니다.)

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변수를 분리 할 수​​ 있기 때문에, 나머지는 양변을 적분하여 계산을 계속합니다.

② 식의 양변을 적분 (양변에 적분 기호를 넣으면)하면

여기에서 ③ 식의 좌변부터 계산해 봅시다.

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④ 식에는 절대치가 붙어 있기 때문에 이를 분리합시다.

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이제 ③ 식의 좌변은 계산 했으므로

다음은 ③ 식의 우변을 생각합니다.

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이상 ③ 식의 좌변과 우변을 계산 했으니 ⑥, ⑦ 식을 ③ 식으로 바꾸면

다음 ⑧ 식 이 됩니다.

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이 ⑧ 식에는 적분정수 A와 B의 2 개가 있기 때문에 적분정수를 D로 하고 하나로 정리해 버립니다.

(즉, B- A = D 라고 둔다.)

대수의 정의 에 따라, 이 식을 전개하면

 그리고는, ⑨ 식에서 적분정수를 구합니다.

적분정수를 구하기 위해서는 회로의 초기 조건을 ⑨ 식에 대입하여 구할 수 있고

이 회로의 경우, 시간 t = 0 일 때 회로에 흐르는 전류가 제로가 되기 때문에

초기 조건은 t = 0, i (t) = 0입니다.

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t = 0, i (t) = 0 ⑨ 식에 대입하면

​

​

⑩ 식의 양변에 대수를 취하고 D = ...을 요구해도 좋습니다만,

⑨ 식을 보면 eD를 그대로 대입 할 수 있으므로,

⑩을 ⑨ 식에 대입합니다. 그러면

​

​

가 되어, RL 직렬 회로에 흐르는 전류의 일반적인 해를 구했습니다.

RL 직렬 회로에 흐르는 전류의 그래프

RL 직렬 회로에 흐르는 전류의 일반적인 해를 구했기 때문에 다음 그래프를 써 봅니다.

방금 구한 전류 식 (⑪ 식) 에서 RL 직렬 회로의 회로 전류의 식은 다음과 같이 됩니다.

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​

덧붙여서, 이 ⑪ 식의 우변의 제 1 항을 정상항, 제 2 항을 과도항 이라고 합니다.

가 됩니다. (즉, i (t) = i1(t) –i2 (t))

우선 i1(t)의 그래프를 써 봅니다. i1(t)는 정수이므로 다음과 같은 그래프가 됩니다.

가 다음과 같이 됩니다.

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i1(t), i2(t)의 2 개의 그래프를 하나의 좌표에 겹쳐 쓰면 다음과 같이 됩니다.

따라서 ⑪ 식의 i (t)는 i (t) = i1(t) -i2(t)이며, i1(t)에서 i2(t)를 뺀 것이 i (t) 가 되므로, i (t)의

그래프는 다음과 같이 됩니다.

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이상과 같이 RL 직렬 회로에 흐르는 전류 i (t)의 그래프를 쓸 수 있었지만,

​

i (t)의 그래프를 보면

RL 직렬 회로의 경우, 회로에 흐르는 전류는 0부터 시작되며 점차 커지고, 어느 정도 시간이

지나면 (정상 상태에 도달한다는 의미) E / R 크기의 전류가 계속 흐르는 것을 알 수 있습니다.

즉, 정상 상태에 도달하면 코일 L은 단락 되어 있는 것과 처럼 되는 것 입니다. (이것이 중요!)

RL 직렬 회로의 저항 R의 전압의 일반 해를 구하는 방법

RL 직렬 회로에 흐르는 전류는 방금 전의 ⑪ 식으로 구하였기 때문에

이 ⑪ 식을 사용하면 저항 R에 걸리는 전압 e R(t) [V]는 다음과 같이 됩니다

전류를 구하면 저항 R의 전압에 대한 일반 해는 쉽게 구할 수 있지요.

RL 직렬 회로의 저항 R의 전압 그래프

그래프는 전압 e R (t)는 i (t)에 R을 곱한 것뿐 이므로, i (t)와 같은 형태의 그래프에서

다음과 같이 됩니다

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이 그래프를 보면, 저항 R의 전압은 0 [V]에서 시작하고 어느 정도 시간이 지나면

(정상 상태에 도달한다는 의미) 전압의 크기는 E [V]가 되는 것을 알 수 있습니다.

 저항 R의 전압 e R (t)가 결국 E [V]가 된다는 것은 전원의 전압이 모든 저항 R에 걸리는 된다는

것입니다.

즉, 정상 상태에 도달하면 코일 L이 없는 것과 (코일이 단락 된 상태와 같은) 같은 것입니다.

(이것은 중요!)

RL 직렬 회로의 코일 L의 전압의 일반 해를 구하는 방법

코일 L의 전압의 일반 해에 대해서도 구하여 봅시다.

여기서도 앞서 구한 전류 식 (⑪ 식)를 사용하면 코일 L의 전압 e L (t) [V]는 다음과 같이 됩니다.

이 식을 풀면 코일 L의 전압 e L (t)를 구할 수 있습니다. 그럼 풀어 봅시다.

이상과 같이 RL 직렬 회로의 코일 L의 전압의 일반 해를 구하였습니다.

RL 직렬 회로의 코일 L의 전압 그래프

코일 L의 전압 e L (t)를 구하였기 때문에 그래프도 그려 봅시다.

코일 L의 전압 e L (t)는 t = 0 일 때 e L (0) = E되어, t = ∞ 일 때 e L (∞) = 0이 되는 그래프는

다음과 같이 됩니다.

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이 그래프를 보면 코일 L의 전압은 E [V]에서 시작하고 어느 정도 시간이 지나면

(정상 상태에 도달한다는 의미) 전압의 크기는 0 [V]가 되는 것을 알 수 있습니다.

즉, 스위치를 ON 한 직후에는 전원 전압이 모두 코일 L에 걸립니다 정상 상태에 도달하면

코일 L에 전압이 걸리지 않고, 전원 전압은 저항 R에 걸리는 것입니다. (이것은 중요!)

RL 직렬 회로의 과도 현상의 정리

이상을 정리하면 다음과 같이 됩니다

 RL 직렬 회로

RL 직렬 회로의 과도 현상의 해결법

① 회로의 회로 방정식 (미분 방정식)을 세운다.

② 초기 조건을 사용하여 ①의 미분 방정식을 풀어 전류의 일반 해를 구한다.

③ 전압의 일반 해는 ②에서 구한 전류의 일반 해를 사용하여 구한다.

RL 직렬 회로의 과도 현상의 일반 해에 관한 식

RL 직렬 회로의 시정수

RL 직렬 회로의 과도 현상의 그래프

과도 현상을 풀기 위해서는 미분 방정식 (또는 적분 방정식)을 풀어야 할 필요가 있기 때문에

계산이 힘들어 질 경우도 있지만, 대부분의 경우, 정해진 형태의 미분 방정식을 풀기만 하면

되기 때문에 처음에는 힘들 수도 있습니다만 패턴을 기억하고 익숙해지면 괜찮아 집니다.

여러분 ~~~  지금 까지 잘 해 오셧습니다. 미분이다 적분이다. 갑자기 나오니 힘들어 보이지만

한번 더 읽어보고 익힘 하면 곧 적응되어 괜찮아 집니다.

또 내가 힘들면 남도 힘듭니다. 그래도 남보다 하나 더 알게 되면 그게 지식의 힘이 됩니다.

여러분 파이팅~~!!