오늘은 무한등비급수의합에 대해 알아보도록 하겠습니다. 사실 예전에는 무한등비급수라고 하였지만 지금은 등비급수라는 용어로 바뀌었습니다. 급수라는 말이 수를 끝없이 더한다는 것인데 무한이라는 것이 중복된다는 이유에서이죠. 역전앞이라는 말에서도 전이라는 것은 앞 전자를 말하는 것이므로 앞이 중복되는 잘못된 표현처럼 무한등비급수도 그러한 이유인 것이죠. 등비급수를 다루기 전에 우선 급수에 대해 알아보도록 하겠습니다. 급수란 앞에서 말했듯이 수를 끝없이 더한다는 것으로 시그마라는 기호를 써서 표현합니다. 우리가 배운 수열을 이제 첫째항부터 무한번 더하겠다는 것입니다. 무한번 더하면 점점 커져 값이 없을 것 같다고 생각하시는 분 계신가요? 이러한 분은 이 단원이 아주 신세계가 될 것입니다. 수열의 종류에서 등차수열과 등비수열을 다루면서 수열의 합을 구한 적이 있습니다. 이와 같이 첫째항부터 n항까지의 합을 여기서는 부분합이라고 합니다. 이렇게 구한 부분합의 극한을 급수라고 하며 부분합의 극한값이 존재하면 그것을 급수의 합이라고 합니다. 당연히 극한이기 때문에 발산하는 경우도 있겠죠? 앞서 극한에서 말한 것과 같이 급수의 발산도 세 가지가 있습니다. (이것은 등비수열수렴조건을 참고해주세요~)
 기호가 어렵지 않다는 것을 알 수 있죠? 따라서 급수도 시그마의 성질을 그대로 적용하게 됩니다. 급수도 수렴과 발산을 판정하는 것이 무엇보다 중요한 부분인데요. 급수의 수렴, 발산은 부분합을 구한 후 극한을 따져야 하니까 시간이 많이 소요되고 복잡합니다. 따라서 간단하게 수렴, 발산을 판정할 수 있는 방법이 있는데요. 그것이 바로 일반항의 극한을 이용하는 것입니다.
대학교에 가면 이것을 일반항판정법이라고 하는데요 문제를 풀 때 아주 유용하게 쓰이는 공식이니 꼭 알아두어야 합니다. "급수가 수렴하면 극한값은 0이다"라는 명제입니다. 증명을 보면 크게 어렵지 않게 이해하실 꺼예요. 이것은 본 명제보다는 대우로서 더욱 많이 이용됩니다. 즉 "극한값이 0이 아니면 급수는 발산한다"라는 것으로서 발산되는 급수를 빠르게 찾아낼 수 있는 거죠.
위와 같은 예처럼 주어진 급수의 수렴, 발산을 쉽게 판정할 수 있는 장점이 있죠? 그러나 쉬운 방법은 항상 단점이 존재합니다. 우리 학생들이 가장 많이 낚이는 부분이기도 하죠. 명제는 역이 항상 성립하지는 않습니다. 이 경우도 마찬가지로 수열의 극한이 0이라면 급수는 수렴할까요? 답은 '알 수 없다 '입니다. 즉 직접 부분합을 구하고 극한을 구해보아야 수렴하는지를 알 수 있다는 말이죠. 그러니 꼭 잊지 마세요!!! "수열의 극한값이 0이면 급수는 직접 구해본다" ok?? 자 이제 본격적으로 무한등비급수의합에 대해 알아보도록 할까요? 등비급수도 마찬가지로 부분합의 극한을 이용할 것입니다. (앞에서 공부한 등비수열의 합과 등비수열수렴조건을 꼭 공부하고 오셔야 해요~)
등비급수는 앞에서 말했듯이 등비수열의 부분합을 구한 후 그것을 공비에 따라 극한을 따지면 됩니다. 여기서 중요한 것은 부분합을 구할 때 공비가 1인경우와 1이 아닌 경우를 반드시 나누어야 한다는 것입니다. 그런 후 그 부분합의 극한을 구하면 무한등비급수의합이 나오는 것이죠. 그리고 공비가 -1에서 1사이인 경우 수렴하게 되고 등비급수를 구하는 공식을 얻게 되는 것입니다.
예를 들어 공비가 수렴조건에 들어가지 않으면 발산하게 되는 것이고 수렴조건에 들어가면 등비급수 공식을 이용하여 급수의 합을 구하는 것입니다. 앞에서 공부한 것을 이용하여 증명을 해보니 생각보다 어렵지 않죠? 차근차근 공부하여야 이해가 될 수 있으니 이해가 되지 않으시는 분은 급하게 하지 말고 다시 한 번 복습을 해보고 오시면 이해가 되실 꺼예요.
등비수열의수렴조건과 무한등비급수의합의 수렴조건의 차이점을 아시겠나요? 공비가 1인 경우 극한값은 존재하지만 급수의 합은 존재하지 않는다는 것을 반드시 기억하고 문제를 풀 때 헷갈리지 않도록 하셨으면 합니다. 우리 모두 수학을 사랑하는 날까지 한 쌤의 수학 사랑은 계속됩니다~ 계~~~속 |
무한급수 합 구하기 - muhangeubsu hab guhagi
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