Wronskian 미분방정식 - wronskian mibunbangjeongsig

 선형 독립

 구간 I에서 $k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0$을 만족시키는 해가 $k_1 = k_2 = 0$ 뿐일 때,

 basis $y_1$과 $y_2$는 서로 선형 독립(linearly independent)이라고 표현합니다.

 선형 독립성을 좀 더 쉽게 보이는 방법이 Wronskian을 이용하는 것입니다.

 Wronskian

 ODE

$$y'' + py' + qy = 0$$

 의 계수 $p(x)$와 $q(x)$가 열린 구간 I에서 연속일 때,

 두 basis $y_1, y_2$가 서로 선형 독립일 조건과 "Wronskian" 

$$W(y_1,y_2) = y_1y_2' -y_2y_1' \ne 0 \quad for ~any~x~in~I$$

 일 조건은 서로 필요충분의 관계에 있습니다.

 즉, Wronskian $\ne 0$이라면 $y_1$과 $y_2$는 서로 선형 독립이라는 의미입니다.

 또한 Wronskian $=0$이라면 $y_1$과 $y_2$는 서로 선형 종속입니다.

 Wronskian은 행렬식을 이용해서 간단히 표현할 수가 있습니다.

$$W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1y_2' - y_2y_1'$$

 예제 1. 다음 미분방정식의 두 basis $y_1, y_2$가 서로 선형 독립인지 판단하시오.

$$y'' + \omega^2y = 0$$

 $y_1 = \cos{\omega x}$와  $y_2 = \sin{\omega x}$의 Wronkian을 구해보면,

$$W(\cos{\omega x}, \sin{\omega x}) = \begin{vmatrix} \cos{\omega x} & \sin{\omega x} \\ -\omega \sin{\omega x} & \omega \cos{\omega x} \end{vmatrix} = \omega$$

$\therefore \quad \omega \ne 0$ 인 모든 실수 $\omega$에 대해 $y_1 = \cos{\omega x}$와  $y_2 = \sin{\omega x}$는 서로 선형 독립입니다.

2계선형미분방정식을 들어가기에 앞서 중첩의 원리와 선형성에 대해서 언급한 적이 있었습니다. 그 중 선형성을 보다 더 쉽게 판단하는 방법이 있는데, 바로 Wronskian 해법입니다.

#0. Linearly independent, dependent(선형독립, 선형종속)

이전의 2계미분방정식에서 homogeneous 한 방정식에 대해서 중첩의 원리를 적용하였고, 그것이 가능한 이유는 선형성(Linearly)으로 부터 출발하였습니다. linearly independent에 대한 정의를 다시 보자면, 이계미분방정식의 해인 y1, y2가 아래의 식을 만족할때

이 식을 만족시키는 K의 값이 오직  일때만 성립하는것이 linearly independent라고 했습니다. 즉 y1에 상수배를 해서 y2를 만들수 없다는 것이지요.

하지만 겉으로 보기에 식의 형태가 삼각함수나 초월함수의 형태로 되어있다면, 상수배를 해서 y2를 만들 수 있을지 없을지가 애매모호해집니다. 가령, sinxcosx 와 sin2x 는 서로 삼각함수 공식을 이용하면 상수배의 관계에 있기때문에 linearly dependent(선형종속)가 됩니다. 이런식으로 겉으로 형태로만 봐서는 알기가 어렵기 떄문에 이를 조금 더 쉽게 알아볼 수 있는 방법이 Wronskian(론스키안) 이 되겠습니다.

#1. Wronskian

 P(x)와 Q(x) 가 어떤 열린구간 I 에서 연속일때, y1, y2의 Wronskian값이 0이 아닌것과, linealy d independent 한 것은 충분 관계에 있습니다. 론스키안은 아래의 수식처럼  계산됩니다.

위처럼 조건이 만족될 때에 y1, y2 는 서로 linearly independent 합니다. 하지만 반대로, Wronskian 값이 0 이라면 linearly dependent 하지는 않습니다. 위의 명제의 역인 "linearly dependent 하다면 Wronskian 값이 0 이다" 는 성립합니다. 론스키안은 행렬식으로도 나타낼 수 있습니다.

 #2. 그래서?

앞서서, homogeneous 한 2계미분방정식의 풀이에 대해서는 여러가지를 다루어보았습니다. 이제 Non-homogeneous 한 미분방정식의 해를 구해야할텐데, 이도 마찬가지로, 방법이 여러가지가 있습니다. 미정계수법이 가장 흔하게 쓰이며, 그 중 론스키안을 이용하여 풀이를 하는 경우도 있습니다. 이제 다음 글에서부터는 Non-homogeneous(비제차)한 형태의 미분방정식의 풀이에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

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Wronskian(론스키안?)은 함수와 함수간의 선형독립성(Linear Independence)을 판단하는 도구입니다. 혹 왜 선형독립성을 따져야 하냐는 질문을 한다면.. 너무 절망스러울 것 같습니다.. 여기까지 왔는데 그런 질문을 하시면 정말.. 그런 분들을 위해서 위에 링크를 준비해 두었습니다. 관련포스팅 아래 2.1-2 배너를 들어가보시면 왜 선형독립성을 판단할 수 있어야 하는지 알 수 있습니다. 간단히 말하자면 2계 이상의 미분방정식은 선형독립인 해들의 선형결합으로 일반해가 표현되기 때문입니다.

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Wronskian은 이 개념을 처음 도입한 수학자 Józef Maria Hoene-Wroński 가 본인의 이름을 따서 붙인 이름인데 궁극적으로는 Wronski 행렬식을 의미합니다.

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y1, y2, ··· , yn 의 Wronski 행렬식

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행렬식 계산방법을 여기서 다루지는 않겠습니다. 선형대수학을 제대로 이수하셨다면 큰 어려움은 없을 테지만 까먹으신 분들을 위해 관련 링크를 남깁니다.

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2계 미분방정식의 Wronskian을 먼저 보기보다는 Wronskian의 정의를 먼저 보고 그 다음 2계 미분방정식의 경우를 보는 순서를 밟도록 합시다.

2계 이상의 제차 선형 미분방정식의 일반해는 선형독립인 기저들의 선형결합으로 나타낼 수 있습니다. 이게 서로 선형독립인지 종속인지 판별하기 어려운 경우, Wronskian을 이용해주면 됩니다. 간단하게 Wronski 행렬식이 0이 아니면 선형독립입니다

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선형독립성은 "집합"의 성질입니다. 벡터들이 모인 집합의 성질이 될 수도 있고 함수들이 모인 집합의 성질이 될 수도 있습니다. Wronski 행렬식을 이용해 선형독립성을 판별해봅시다

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이런 느낌으로 Wronskian을 사용해주시면 됩니다. 나중에 비제차(nonhomogeneous) 방정식의 해를 구할 때 다시 나오니 필히 기억하시길 :)

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