사면체 의 부피 공식 - samyeonche ui bupi gongsig

원뿔, 삼각뿔, 사각뿔..등.. 모든 각뿔의 넓이 공식은 1/3을 기억하면 된다. 원기둥이나 삼각기둥 등 밑면의 단면적과 윗면의 단면적이 같은 입체도형의 부피는 밑면의 넓이 ×높이가 된다. 여기서 높이에 따라 밑면의 넓이가 일정하게 줄어들어 뿔(점)의 형태가 되는 도형의 넓이는 원래 기둥의 넓이의 1/3이 된다.

목차 Show

이 위키하우에 대하여

삼각뿔, 사각뿔도 마찬가지다.

원리 생각해보기

적분을 통해 증명을 할 수도 있지만, 여기서는 기하를 통해 원리를 파악해보자.

위 그림은 직육면체를 사각뿔과 나머지 입체도형으로 분해한 것이다. 4개의 동일한 모양의 사각뿔이 나오므로 총 5개의 사각뿔이 나온다.

5개의 사각뿔의 합이 총 입체도형인 직육면체의 부피이므로 등식을 세워서 계산해보자. 여기서 전제 되어야 할 것은 모든 각뿔들은 밑변의 넓이와 높이가 동일한 기둥의 부피와 일관된 비례 관계가 성립한다는 전제를 세워야 한다. 우리는 이미 비례 관계가 성립되는 것을 알기 때문에 이 공식을 이런 식으로 구할 수 있다.

abc = abcK + abcK/2 × 4

abc = 3abcK

K = 1/3

K = 1/3이므로 사각뿔의 부피는 직육면체의 부피 × 1/3임이 확인되었다.

물론 원뿔이나 다른 각뿔에도 모두 성립하는 공식이다.

PDF 다운로드

각뿔의 부피를 구하기 위해서는 각뿔의 높이와 밑변의 넓이를 곱한 결과 값에 1/3을 추가로 곱하기만 하면 된다. 물론 이 과정은 각뿔의 밑면이 삼각형이냐, 사각형이냐에 따라 달라지겠지만 전체적인 식은 변하지 않는다. 이 글을 통해 삼각뿔과 사각뿔의 부피를 구하는 방법을 배워보자.

1
밑면 사각형의 가로와 세로 길이 구하기. 예를 들기 위해 우리에게 주어진 사각뿔 밑면의 가로가 4cm, 세로가 3cm라고 가정하자. 만약 사각뿔의 밑면이 정사각형이라면 부피를 구하는 방법은 똑같고, 밑면의 가로와 세로가 같다는 점만 다를 것이다. 위 그림처럼 가로 세로 길이와 함께 단위도 쓰도록 한다.
2

가로와 세로를 곱해 밑면의 넓이 구하기. 여기서는 3cm와 4cm를 곱하기만 하면 된다. 3 cm x 4 cm = 12 cm2[1]
3
밑면의 넓이에 사각뿔의 높이 곱하기. 밑면의 넓이는 위에서 구한 것처럼 12 cm2이다. 그리고 사각뿔의 높이는 자로 쟀을 때 4 cm가 나온다. 따라서 12 cm2를 4 cm에 곱하면 될 것이다. 즉, 12 cm2 x 4 cm = 48 cm3가 된다.
4
나온 결과를 3으로 나누기. 3으로 나누는 대신 1/3을 곱해도 된다. 계산해보면 48 cm3/3 = 16 cm3이 된다. 따라서 4cm의 높이를 가지고 밑면의 가로 세로 길이가 각각 3cm, 4cm인 사각뿔의 부피는 16 cm3가 된다. 답의 단위를 세제곱으로 쓰는 것을 잊지 말자. 3차원 도형을 다룰 때는 단위가 세제곱이 된다.
광고

1
밑면 삼각형의 밑변과 높이 길이 구하기. 각뿔의 부피 공식을 적용시키기 위해서는 삼각뿔의 밑면 삼각형의 가로와 세로가 반드시 직각을 이룰 필요가 있다. 삼각형 자체만을 놓고 보면 밑변과 높이를 구하는 셈이다. 여기서는 위 그림을 예로 들어 주어진 삼각뿔의 밑면 삼각형의 밑변이 2cm, 높이가 4cm라고 가정할 것이다. 다시 말하지만 단위를 쓰는 것을 잊지 않도록 하자.[2]
- 만약 삼각형의 밑변과 높이가 직각이 아니라면 삼각형의 넓이를 구할 수 없을 것이다. 그럴때는 다른 방법을 동원해 삼각형의 넓이를 구하도록 하자.
2
밑면 삼각형의 넓이 구하기. 삼각형의 넓이를 구하려면 밑변과 높이를 구해 반으로 나누면 된다. 다음 공식을 보자. A = 1/2(b)(h). b는 아랫면, h는 높이를 의미한다.
- A = 1/2(b)(h)
- A = 1/2(2)(4)
- A = 1/2(8)
- A = 4 cm2
3
밑면의 넓이에 삼각뿔의 높이 곱하기. 아랫면의 넓이가 4 cm2이고 삼각뿔의 높이가 5 cm이므로 다음처럼 식을 쓸 수 있을 것이다. 4 cm2 x 5 cm = 20 cm3.
4
구한 값을 3으로 나누기. 위에서 구한 값을 3으로 나눠보자. 20 cm3/3 = 6.67 cm3가 나온다. 따라서 높이가 5cm, 밑면 삼각형의 밑변이 2cm 높이가 4cm인 삼각뿔의 부피는 6.67 cm3이다.
광고

팁

사각뿔에서 높이와 빗변의 길이, 아랫면의 중심까지의 대각선 길이는 피타고라스 정리를 따른다: (아랫면 중심까지의 대각선 길이÷ 2)2 + (사각뿔의 높이)2 = (빗면의 길이)2
이 글에서 설명한 방법은 오각뿔, 육각뿔로 확장시켜도 무방하다. 결국 어떤 각뿔의 부피를 구하는 방법은 다음과 같다. 가) 아랫면의 넓이를 구한다; 나) 각뿔의 높이를 구한다; 다) 가와 나를 곱한다; 라) 곱한 값을 3으로 나눈다.
모든 일반적인 각뿔에서는, 각뿔의 빗변의 길이, 높이, 밑변의 대각선 길이의 절반이 피타고라스 정리를 따른다: (밑변의 대각선 길이의 절반 ÷ 2)2 + (빗변의 길이)2 = (각뿔의 높이)2

경고

각뿔은 세 종류의 길이를 지닌다. 각뿔의 꼭지점으로부터 아랫면의 꼭지점까지 이어지는 빗면의 길이; 각뿔의 꼭지점으로부터 아랫면과 직각을 이루는 선분을 그었을 때의 길이, 그리고 각뿔 아랫면의 대각선 길이의 절반. 그리고 마지막으로 강조하자면 부피를 구할 때는 단위를 세제곱으로 쓰는 것을 잊지 말자.