제차 선형연립미분방정식 - jecha seonhyeong-yeonlibmibunbangjeongsig

[미분 방정식] 선형 연립 방정식 2, 비동차, 매개변수 변화법

2018. 7. 31. 18:49

앞서 행렬을 이용해서 미분 방정식(연립)을 푸는 법을 다뤘는데
고유치 문제를 해결하는 방법으로 접근했습니다.
그때 행렬식을 이용해서 λ를 구하는데
λ의 근에 따라서 세가지로 나누어서 살펴보는 중이었습니다.

첫번째는 λ가 서로다른 실근인 경우였고요
이제 볼것은 λ가 중근인 경우입니다.
이 경우는 중복 고윳값이라고 합니다.
(λ가 고윳값임)

위와같이 예제를 풀어보면 λ=-3으로 중근이 나옵니다.
근데 중근도 근이 두개인 셈인데.
해가 X1 하나만 나오면 안 되거든요.
우리가 풀던방식으로 풀어서 해를 구하면 해가 하나만 나옵니다.
그럼 다른 방법을 써보자는것이죠.

먼저 두가지로 상황을 나눕니다.

첫번째의 경우는 '행복한 경우'입니다.
이 경우는 λ가 중근으로 잡혔는데 K1, K2가 독립이어서
아주 행복하게도 X=c1X1+c2X2의 형태로 그냥 표현해주면 되는 상황입니다.
말 그대로 행복한 경우죠. 이 경우는 그냥 하던대로 하면 됩니다.

그런데 행복하지 않은 경우를 가정해봅시다
중근인데 해가 하나만 나온 경우입니다.
이 경우는 두번째 해를 첫번째 해를 이용해서 가정을합니다.

첫번째 해인 X1에다가 Pe^(λ1t)라고 가정해서 항을 추가해줍니다.
여기서 P만 구하면 X2를 구할수있겠죠?
그래서 우리는 P를 구할것입니다.

우리가 가정한 X2라는 해를 원래의 미방에 다시 대입해놓고 P를 구하면 됩니다.
잘 정리하다보면

이와같이 식을 얻을 수 있습니다.
(A-λ1I)P=K 라는 식을 이용해서 P를 구하는것입니다.

만약 3차다 그러면 해가 하나 더 필요할텐데 그 경우는 똑같은 패턴으로 진행합니다.
Q라고 놓고 진행하면 됩니다.


중근을 갖는 경우는 위와같이 생각하면 되고요.
복소근을 갖는 경우를 생각해봅시다.

복소근의 경우는 그나마 근이 두개니까
실근 두개인 상황처럼 λ를 구해보면
켤레복소수로 구해집니다.
그런데 복소수라는게 항상 켤레복소수의 관계로 λ1, λ2가 정해지는데요
그래서 X1하나만 구해놓고 X1에 켤레만 취해주면 X2를 바로 구할수있습니다.

그런데 여기서 오일러 공식을 이용해서 복소수를 삼각함수로 정리해주고요

이와같이 복소수의 성질을 이용해서 실수부와 허수부를 Re(z), Im(z)라고 표현해줍니다.
그렇게 정리해서 쓰면 편합니다.
지수함수에 복소수(허수)가 들어간 형태는 다루기가 어려운데
그걸 끄집어내고 삼각함수로 표현해놓고 각각 실수부와 허수부를 넣어주면 좀더 다루기가 편해지니까
위와같이 정리한것입니다.

앞서 선형 미분 방정식을 배울때 비동차로 주어진다 하더라도 동차로 먼저 풀고 비동차로 풀고, 최종적으로 두 해를 합치는 방법을 배웠는데요.
여기서도 똑같습니다.
연립되어있더라도 역시 동차먼저 풀고 비동차를 풀면 됩니다.
그런데 비동차를 푸는 방법도 어차피 선형 미분 방정식에서 한것처럼 똑같습니다.
매개변수 변화법을 주로 쓸거예요.

이렇게 동차인 경우에서의 Xc를 먼저 구하고요

시험해 Xp를 구하기위해서 F(t)의 형태를 보고 상수니까 상수의 행렬을 잡아줍니다.
만약 시험해의 항이 여함수에 종속된다면 겹치는걸 없애주기위해서 t를 곱해줍니다.
마치 앞서 선형 미분 방정식에서 x의 최소멱지수를 곱해주는 것같죠.

시험해를 구하는 방법으로 편한게
매개변수 변화법이 있는데요

먼저 기본행렬이라는 걸 정의합니다.
위와같이 행렬을 합쳐서 x에 대해 남은 행렬을 기본행렬이라고 합니다.

기본행렬 역시 미분방정식에 대입했을 때 만족하기때문에 해가됩니다.

그리고 U라는 매개변수 행렬을 정의하는데요
Xp=ΦU로 놓고 주어진 미방에 대입해서 정리해주면 위와같이 됩니다.
역행렬에 대해서 알아야되는데.. 나중에 행렬에 대해 글을 쓸 때 이 글에다가 다시 링크를 연결해놓겠습니다.

일단 2x2의 행렬에서 역행렬은 위와같은 방법으로 구합니다.

어쨌든. U를 적분을통해서 구하면 Xp를 구할수있고요
최종적인 완전해는 위와같이 X=Xc+Xp로 결합해주면 됩니다.....


이렇게 해서 [미분 방정식]시리즈는 대충 끝났고요.
예제를 푸는게 더 중요하니까 다음 시리즈를 기대하세요.

현대물리학을 할지 미분방정식 예제풀이를 할지 고민했는데
[물리학에서 미분방정식의 역할]=[물미역] 시리즈를 연재하겠습니다.
물리학에서 미분 방정식이 어떻게 쓰이는지 예제를 다뤄볼것입니다.
용수철 단진동 이런거요.